二項式係數計算機

輸入計算

n（項目總數）

k（選取數量）

結果

Binomial Coefficient C(5, 2)

10

組合數

n（項目總數）	5
k（選取數量）	2
唸作	"5 choose 2"

什麼是二項式係數？

二項式係數寫作 \(C(n, k)\)，唸作「從 n 個取 k 個」，用來計算在不考慮選取順序的情況下，從 n 個相異項目中挑出 k 個的方法總數。它是組合數學與機率論中最基礎的數值之一，出現在巴斯卡三角形、二項式定理，以及無數的計數問題之中。

二項式係數表示從 n 個元素的集合中選取 k 個的方式數，與順序無關。

如何使用本計算機

輸入項目總數 n，再輸入你想選取的數量 k，計算機就會回傳精確的組合數。如果 k 大於 n，結果會是 0，因為你無法選出比現有項目更多的數量。

公式解析

經典定義如下：

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$

由於階乘的增長速度極快，本工具改用等價的連乘形式：對 i = 1…min(k, n−k) 依序乘上 (n−k+i)/i。這樣可以讓計算過程中的數字保持較小，避免溢位，同時得到完全相同的整數答案。

每個二項式係數都出現在巴斯卡三角形中，其中每個值都是其上方兩個值之和。

範例演算

從 5 張牌中抽出 2 張，總共有幾種組合？計算 $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10.$$ 所以一共有 10 種可能的配對。

帕斯卡三角形參考（小n的C(n,k)）

表格中的每一項都是二項式係數 \(\binom{n}{k}\)，排列方式使得每一行 \(n\) 列出 \(k = 0, 1, \dots, n\) 的值。這形成了帕斯卡三角形，其中每個內部項等於其上方兩個對角線項的和：\(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)。注意每行內的對稱性，因為 \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)。

n \ k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

例如，\(\binom{10}{3} = \) 120，位於第10行，第 \(k=3\) 列。第 \(n\) 行中每一項的和等於 \(2^n\)（例如第4行：\(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)）。

更多工作例題

以下例題應用公式 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)，使用乘法快速方法 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) 以便在任何大乘法之前，龐大的階乘就能被約掉。

例題1：\(\binom{10}{3}\) — 從10個中選3個

在 \(3!\) 上方只保留 \(10!\) 的前3個下降因子：

$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$

因此，當順序無關時，從10個項目中選擇3個項目有120種方式。

例題2：\(\binom{6}{6}\) — 選擇所有的

選擇所有可用項目只能以恰好一種方式進行。當 \(k = n\) 時，\((n-k)!\) 項變為 \(0! = 1\)：

$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$

這驗證了恆等式 \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1。

例題3：\(\binom{49}{6}\) — 一個49選6彩票

從49個號碼池中不同的無序6號碼票的數量使用乘法快速方法與六個最大的下降因子：

$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$

分子為 \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\)，分母為 \(6! = 720\)：

$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$

因此，單一票有1比13,983,816的機率匹配所有六個號碼。如果您想要有序抽籤，您將使用排列 \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) — 但對於典型彩票，只有組合才重要。

常見問題

\(C(n, 0)\) 等於多少？永遠是 1——因為「什麼都不選」剛好只有一種方法。

\(C(n, k)\) 和 \(C(n, n-k)\) 相同嗎？是的，二項式係數具有對稱性：選出 k 個保留，等同於選出 n−k 個捨棄。

組合與排列有什麼不同？組合不考慮順序，排列則計入順序。排列數等於 \(C(n, k) \times k!\)。