什麼是第二類完全橢圓積分？
第二類完全橢圓積分記作 \(E(k)\)，是一種特殊函數，定義為被積函數 \(\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\theta}\) 從 0 到 \(\pi/2\) 的積分。無論是計算橢圓的精確周長、正弦曲線的弧長、大振幅單擺的週期，還是橢圓形裂紋的應力強度因子，都會用到它。輸入值 \(k\) 稱為「模數」（modulus），其範圍必須介於 −1 與 1 之間。
如何使用本計算器
輸入模數 \(k\)（一個介於 −1 到 1 之間的無因次數值），即可讀出 \(E(k)\) 的值。由於被積函數只與 \(k^{2}\) 有關，結果具有對稱性：\(E(-k) = E(k)\)。此函數會從 \(E(0) = \pi/2\) 平滑地遞減至 \(E(1) = 1\)。請特別注意，本工具直接採用模數 \(k\) 作為輸入，而非某些文獻所使用的參數 \(m = k^{2}\)。
公式說明
本計算器以算術幾何平均（AGM）來求出 \(E(k)\)，此方法具有二次收斂的特性。先設定 \(a_0 = 1\)、\(b_0 = \sqrt{1 - k^{2}}\)、\(c_0 = k\)。每一步計算 \(a = (a+b)/2\)、\(b = \sqrt{a\cdot b}\)、\(c = (a-b)/2\)，直到 \(c\) 小到可忽略為止。接著，第一類積分為 $$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot a_N}$$ 而 $$E(k) = K(k)\cdot\left(1 - \frac{1}{2}\sum 2^{n}\cdot c_n^{2}\right)$$ 這種方法避免了收斂緩慢的冪級數，只需數次迭代即可達到機器精度。
實例演算
當 \(k = 0.1\) 時，\(m = 0.01\)。透過 AGM 求得 \(a_N \approx 0.997492\)，\(c^{2}\) 的總和 \(S \approx 0.01001256\)，因此 \(K \approx 1.5747456\)，而 $$E = K(1 - 0.5\cdot S) \approx 1.566862$$ 此結果與級數近似式 $$E(k) \approx \frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{1}{4}k^{2} - \frac{3}{64}k^{4}\right)$$ 相符。
常見問題
\(E(0)\) 是多少？恰好等於 \(\pi/2 \approx 1.5707963\)，因為此時被積函數簡化為 1。
\(E(1)\) 是多少？恰好等於 1，因為被積函數此時變成 \(\cos\theta\)，而它從 0 到 \(\pi/2\) 的積分值為 1。
為什麼 \(k\) 限制在 −1 到 1 之間？超出此範圍後，被積函數會在某些 \(\theta\) 值時變成虛數，使得 \(E(k)\) 不再是實數。
