İkinci tür tam eliptik integral nedir?
E(k) ile gösterilen ikinci tür tam eliptik integral, (1 eksi k karenin sinüs kare teta ile çarpımı) ifadesinin karekökünün 0'dan π/2'ye integraliyle tanımlanan özel bir fonksiyondur. Bir elipsin tam çevresini, bir sinüs dalgasının yay uzunluğunu, büyük genlikli bir sarkacın periyodunu ya da eliptik çatlaklar için gerilme yoğunluğu faktörlerini hesaplamanız gerektiğinde karşınıza çıkar. Girdi olan \(k\), modül adını alır ve -1 ile 1 arasında olmak zorundadır.
$$E(\text{k}) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}\; d\theta$$
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Modül \(k\) değerini (-1 ile 1 arasında boyutsuz bir sayı) girin ve E(k) sonucunu okuyun. İntegrandın yalnızca k kareye bağlı olması nedeniyle sonuç simetriktir: \(E(-k) = E(k)\). Fonksiyon, \(E(0) = \pi/2\) değerinden \(E(1) = 1\) değerine doğru düzgün biçimde azalır. Bu aracın, bazı kaynaklarda kullanılan \(m = k^2\) parametresini değil, doğrudan modül \(k\) değerini aldığını unutmayın.
Formülün açıklaması
E(k)'yi, ikinci dereceden (kuadratik) yakınsayan aritmetik-geometrik ortalama (AGM) yöntemiyle hesaplıyoruz. Başlangıç olarak \(a_0 = 1\), \(b_0 = \sqrt{1 - k^2}\), \(c_0 = k\) alın. Her adımda \(c\) ihmal edilebilir hâle gelene dek \(a = (a+b)/2\), \(b = \sqrt{a\cdot b}\) ve \(c = (a-b)/2\) hesaplanır. Ardından \(K(k) = \pi / (2\cdot a_N)\) birinci tür integraldir ve $$E(\text{k}) = K(\text{k})\cdot\left(1 - \tfrac{1}{2}\sum 2^{n}\, c_n^{2}\right)$$ elde edilir. Bu yöntem, yavaş yakınsayan kuvvet serilerinden kaçınır ve yalnızca birkaç yinelemede makine hassasiyetine ulaşır.
Çözümlü örnek
\(k = 0{,}1\) için \(m = 0{,}01\) olur. AGM yöntemi \(a_N \approx 0{,}997492\) ve c kare toplamı \(S \approx 0{,}01001256\) verir; böylece \(K \approx 1{,}5747456\) ve $$E = K(1 - 0{,}5\cdot S) \approx 1{,}566862$$ bulunur. Bu sonuç, seri yaklaşımı olan $$E(\text{k}) \approx \frac{\pi}{2}\left(1 - \tfrac{1}{4}k^{2} - \tfrac{3}{64}k^{4}\right)$$ ile örtüşür.
Sık sorulan sorular
E(0) kaçtır? Tam olarak \(\pi/2 \approx 1{,}5707963\)'tür; çünkü integrand 1'e indirgenir.
E(1) kaçtır? Tam olarak 1'dir; çünkü integrand \(\cos\theta\) hâline gelir ve bunun 0'dan π/2'ye integrali 1'dir.
k neden -1 ile 1 arasıyla sınırlı? Bu aralığın dışında integrand bazı teta değerleri için sanal hâle gelir, dolayısıyla E(k) artık gerçel bir sayı olmaktan çıkar.
