什么是第二类完全椭圆积分？
第二类完全椭圆积分记作 E(k)，是一个特殊函数，定义为被积函数 √(1 − k²·sin²θ) 从 0 到 π/2 的积分。无论是计算椭圆的精确周长、正弦曲线的弧长、大摆角单摆的周期，还是椭圆裂纹的应力强度因子，都会用到它。输入值 k 称为模数（modulus），取值范围必须在 −1 到 1 之间。
如何使用本计算器
输入模数 k（−1 到 1 之间的无量纲数），即可读取 E(k) 的值。由于被积函数只与 k² 有关，所以结果是对称的：E(−k) = E(k)。该函数从 E(0) = π/2 平滑递减到 E(1) = 1。请注意，本工具直接接受模数 k，而不是某些资料中使用的参数 m = k²，两者切勿混淆。
公式详解
我们采用算术-几何平均（AGM）法来求 E(k)，它具有二次收敛速度。设初值 a₀ = 1，b₀ = √(1 − k²)，c₀ = k。每一步计算 a = (a+b)/2、b = √(a·b)、c = (a−b)/2，直到 c 小到可以忽略为止。此时第一类积分 K(k) = π / (2·a_N)，而 E(k) = K(k)·(1 − (1/2)·∑ 2ⁿ·c_n²)。该方法避免了收敛缓慢的幂级数，只需几次迭代即可达到机器精度。
计算实例
取 k = 0.1，则 m = 0.01。通过 AGM 迭代得到 a_N ≈ 0.997492，c² 之和 S ≈ 0.01001256，于是 K ≈ 1.5747456，E = K(1 − 0.5·S) ≈ 1.566862。这一结果与级数近似公式 E(k) ≈ (π/2)(1 − (1/4)k² − (3/64)k⁴) 完全吻合。
常见问题
E(0) 等于多少？ 恰好等于 π/2 ≈ 1.5707963，因为此时被积函数化简为 1。
E(1) 等于多少？ 恰好等于 1，因为此时被积函数变为 cosθ，它从 0 到 π/2 的积分正好是 1。
为什么 k 被限制在 −1 到 1 之间？ 超出这个范围后，对某些 θ 被积函数会变为虚数，E(k) 也就不再是实数了。
