第二类高斯-切比雪夫求积计算器 | 数值积分工具

结果

积分近似值

1.57079633

∫_a^b g(x) dx

方法	高斯-切比雪夫（第二类）
节点数 n	20
积分区间	[-1, 1]
被积函数	g(x) = sqrt(1-x^2)

这个计算器能做什么

本工具采用第二类高斯-切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积法，对函数 $g(x)$ 在有限区间 $(a, b)$ 上的定积分进行数值近似。高斯求积只在一组经过精心挑选的点（节点）上计算被积函数值，再配以对应的权重加权求和，因此对光滑函数而言，只需极少的函数计算就能获得很高的精度。它属于纯数学方法，不涉及任何单位，也不受任何国家或地区规则的影响。

使用方法

把被积函数写成关于 $x$ 的表达式，例如 sqrt(1-x^2)、exp(x)、1/(1+x^2) 或 sin(x)。支持的函数包括 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln/log、sqrt、abs，可用 ^ 表示乘方，并可使用常数 pi 和 e。随后设置积分下限 $a$、上限 $b$ 以及节点数 $n$。对于光滑的被积函数，$n$ 越大通常精度越高；对于不带权的函数，取 30–60 一般就有不错的效果。

公式解析

第二类求积公式建立在区间 $[-1, 1]$ 上、权函数为 $\sqrt{1 - x^2}$ 的标准恒等式之上。其节点有闭式表达 $x_i = \cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)$，权重为 $w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^2\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)$。要对一个不带权的 $g$ 在一般区间上积分，需把 $[-1, 1]$ 映射到 $[a, b]$（雅可比因子为 $\frac{b-a}{2}$），并除以 $\sqrt{1 - x_i^2}$。这一除法在解析上恰好被约去，留下有效权重 $W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)$。最终可用的公式为：

$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\sum_{i=1}^{n} W_i\cdot g(\text{node}_i)$$