Công cụ này làm gì
Công cụ này tính gần đúng tích phân xác định của một hàm g(x) trên một khoảng hữu hạn (a, b) bằng phương pháp cầu phương Gauss-Chebyshev loại hai. Cầu phương Gauss tính giá trị của hàm dưới dấu tích phân tại một số ít điểm được chọn lựa kỹ lưỡng (gọi là các nút) rồi kết hợp chúng với các trọng số tương ứng, nhờ đó đạt độ chính xác rất cao cho các hàm trơn chỉ với rất ít lần tính. Đây là toán học thuần túy, nên không có đơn vị và không phụ thuộc vào quy định của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng
Nhập hàm dưới dấu tích phân dưới dạng biểu thức theo x (ví dụ sqrt(1-x^2), exp(x), 1/(1+x^2) hay sin(x)). Các hàm được hỗ trợ gồm sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln/log, sqrt, abs, lũy thừa với dấu ^, cùng các hằng số pi và e. Sau đó nhập cận dưới a, cận trên b và số nút n. Thông thường n càng lớn thì kết quả càng chính xác đối với hàm trơn; với các hàm không có trọng số, giá trị n trong khoảng 30–60 cho kết quả tốt.
Giải thích công thức
Quy tắc loại hai được xây dựng trên đẳng thức chuẩn tắc trên đoạn [-1, 1] với hàm trọng số \(\sqrt{1 - x^2}\). Các nút có dạng tường minh \(x_i = \cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\) và trọng số \(w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^2\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\). Để tính tích phân của một hàm g không có trọng số trên một khoảng tổng quát, ta ánh xạ [-1,1] sang [a,b] (với Jacobi bằng \(\frac{b-a}{2}\)) rồi chia cho \(\sqrt{1 - x_i^2}\). Phép chia này triệt tiêu một cách giải tích, để lại trọng số hiệu dụng \(W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\). Công thức thực hành cuối cùng là
$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n+1}\sum_{i=1}^{n} \sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) f(x_i)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ f(x) &= \frac{g(x)}{\sqrt{1-t_i^{2}}},\quad t_i=\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ n &= \text{Nodes} \end{aligned} \right.$$
Ví dụ minh họa
Xét \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) trên (-1, 1) với \(n = 4\). Giá trị chính xác chính là diện tích của nửa hình tròn đơn vị, tức \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5707963\). Tổng của bốn số hạng đóng góp xấp xỉ \(1{,}5708358\) — trùng khớp với giá trị thực đến bốn chữ số thập phân mà chỉ cần bốn nút.
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra nếu a = b? Khoảng có độ rộng bằng không, nên kết quả chính xác bằng 0.
Nếu b nhỏ hơn a thì sao? Quy tắc vẫn hoạt động và trả về giá trị có dấu, phù hợp với tính chất tích phân từ a đến b bằng số đối của tích phân từ b đến a.
Vì sao tôi nhận được thông báo "không xác định tại một nút"? Nếu g cho ra giá trị NaN hoặc vô cực tại bất kỳ nút cầu phương nào (chẳng hạn lấy ln của số âm hoặc chia cho không), thì không thể tính được kết quả; hãy điều chỉnh lại hàm hoặc khoảng tích phân.
