この計算機でできること
このツールは、第2種ガウス・チェビシェフ求積法を用いて、有限区間(a, b)における関数g(x)の定積分を数値的に近似します。ガウス求積法では、被積分関数を慎重に選ばれた少数の点（ノード）で評価し、それぞれに対応する重みを掛け合わせて足し合わせます。これにより、滑らかな関数であればわずかな評価回数でも高い精度が得られます。あくまで純粋な数学計算であり、単位や特定の国・地域に依存するルールはありません。
使い方
被積分関数は x を変数とする式で入力します（例：sqrt(1-x^2)、exp(x)、1/(1+x^2)、sin(x) など）。使用できる関数は sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln／log、sqrt、abs、累乗を表す ^ などで、定数 pi と e も利用できます。続いて下限 a、上限 b、ノード数 n を設定してください。滑らかな被積分関数の場合、n を大きくするほど精度は向上し、重みを含まない関数なら 30〜60 程度でも十分な結果が得られます。
計算式の解説
第2種の求積公式は、区間 \([-1, 1]\) 上で重み \(\sqrt{1 - x^2}\) をもつ基本的な積分恒等式に基づいています。その閉形式のノードは \(x_i = \cos\!\left(\frac{i\cdot\pi}{n+1}\right)\)、重みは \(w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^2\!\left(\frac{i\cdot\pi}{n+1}\right)\) で与えられます。重みを含まない関数 g を一般の区間で積分するには、\([-1,1]\) を \([a,b]\) に写像し（ヤコビアンは \(\frac{b-a}{2}\)）、\(\sqrt{1 - x_i^2}\) で割ります。この割り算は解析的に打ち消し合い、実効的な重み \(W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\cdot\pi}{n+1}\right)\) が残ります。最終的な実用公式は、次のようになります。
$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\sum W_i\cdot g(\text{node}_i)$$
計算例
区間 \((-1, 1)\) 上で \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\)、\(n = 4\) とします。厳密値は単位半円の面積、すなわち \(\frac{\pi}{2} \approx 1.5707963\) です。4つの寄与を足し合わせると約 \(1.5708358\) となり、わずか4ノードでありながら小数第4位まで真の値と一致します。
よくある質問
a = b の場合はどうなりますか？ 区間の幅がゼロになるため、結果は厳密に 0 になります。
b が a より小さい場合は？ その場合でも公式は問題なく機能し、符号付きの値を返します。これは「a から b への積分が b から a への積分の符号を反転したものに等しい」という性質と一致します。
「ノードで未定義」と表示されるのはなぜですか？ g がいずれかのノードで NaN や無限大になる場合（例：負の数の ln をとる、ゼロで割るなど）、計算ができません。関数や区間を見直してください。
