가우스-체비쇼프 제2종 구적법 계산기 (수치적분)

방법	가우스-체비쇼프 (제2종)
노드 수 n	20
구간	[-1, 1]
피적분함수	g(x) = sqrt(1-x^2)

이 계산기의 기능

이 도구는 유한 구간 (a, b)에서 함수 g(x)의 정적분을 가우스-체비쇼프 제2종 구적법으로 수치 근사합니다. 가우스 구적법은 신중하게 선택한 소수의 점(노드)에서만 피적분함수를 계산한 뒤 거기에 대응하는 가중치를 곱해 합산하는 방식으로, 매끄러운 함수라면 아주 적은 계산만으로도 높은 정확도를 얻을 수 있습니다. 순수 수학적 계산이므로 단위나 특정 국가의 규정 같은 것은 전혀 적용되지 않습니다.

사용 방법

피적분함수를 x에 대한 식으로 입력하세요(예: sqrt(1-x^2), exp(x), 1/(1+x^2), sin(x)). 지원되는 함수에는 sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln/log, sqrt, abs와 거듭제곱 기호 ^, 그리고 상수 pi와 e가 포함됩니다. 그다음 하한 a, 상한 b, 노드 수 $n$을 설정합니다. 매끄러운 피적분함수에서는 $n$이 클수록 대체로 정확도가 높아지며, 가중치가 없는 함수의 경우 30~60 정도면 충분히 잘 작동합니다.

공식 풀이

제2종 규칙은 가중함수 $\sqrt{1 - x^2}$를 갖는 구간 [-1, 1]에서의 표준 항등식을 바탕으로 구성됩니다. 닫힌 형태의 노드는 $x_i = \cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)$이고 가중치는 $w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)$입니다. 가중치가 없는 $g$를 일반 구간에서 적분하려면 [-1,1]을 [a,b]로 사상하고(야코비안은 $\frac{b-a}{2}$) $\sqrt{1 - x_i^2}$로 나눕니다. 이 나눗셈은 해석적으로 상쇄되어 유효 가중치 $W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)$만 남습니다. 따라서 최종적으로 쓰는 실용 공식은 다음과 같습니다.

$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n+1}\sum_{i=1}^{n} \sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) f(x_i)$$

$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ f(x) &= \frac{g(x)}{\sqrt{1-t_i^{2}}},\quad t_i=\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ n &= \text{Nodes} \end{aligned} \right.$$

등간격 각도를 x축에 사영한 체비쇼프 절점을 보여주는 반원 — 제2종 체비쇼프 절점은 등간격 각도의 사영으로, 구간 중앙으로 모입니다.

계산 예시

$g(x) = \sqrt{1 - x^2}$를 (-1, 1) 구간에서 $n = 4$로 적분해 봅시다. 정확한 값은 단위 반원의 넓이인 $\frac{\pi}{2} \approx 1.5707963$입니다. 네 개의 항을 합하면 약 $1.5708358$이 나오는데, 단 네 개의 노드만으로 실제 값과 소수 넷째 자리까지 일치합니다.