가우스-에르미트 구적법 계산기

계산 입력

피적분함수 형태 g(x) — full integrand over (-inf, inf) f(x) — integrand with e^(-x^2) weight removed

함수식 (변수 x)

노드 수 n

결과

적분 근삿값

1.7724538509

(-∞, ∞) 구간의 가우스-에르미트 구적법

노드 수 n	10
계산 방법	Golub-Welsch (야코비 고윳값 해법)

가우스-에르미트 구적법이란?

가우스-에르미트 구적법은 음의 무한대에서 양의 무한대까지, 즉 실수 전체 구간에 걸친 적분을 다루는 수치적분 기법입니다. 가우스 가중함수 \(e^{-x^{2}}\)를 중심으로 설계되어 있으며, (가중치를 제거한 의미에서) 차수가 \(2n-1\) 이하인 임의의 다항식에 대해 정확한 값을 줍니다. 순수한 수학에 기반하므로 어느 나라에서 쓰든, 어떤 단위계를 쓰든 규칙은 완전히 동일합니다. 물리학, 통계학(정규분포 하의 기댓값 계산), 공학 분야에서 폭넓게 활용됩니다.

가우스-에르미트 구적법은 가우스 곡선 \(e^{-x^{2}}\)로 가중된 특수 노드에서 함수를 샘플링합니다.

계산기 사용법

먼저 피적분함수의 형태를 고르세요. \((-\infty, \infty)\) 구간에서 적분하려는 함수 전체를 그대로 입력한다면 g(x)를, \(e^{-x^{2}}\) 가중치를 이미 따로 분리해 두었다면 f(x)를 선택합니다. 그다음 변수 x로 이루어진 식을 입력하세요(exp, log, sqrt, sin, cos, tan, sinh, cosh, abs, pi, e, ^ 및 일반적인 연산자를 사용할 수 있습니다). 마지막으로 노드 수 \(n\)을 설정합니다. 매끄럽고 가우스 형태에 가까운 피적분함수일수록 노드를 늘리면 정확도가 높아지며, 보통 8에서 30 사이 값을 사용합니다.

공식 이해하기

이 방법은 물리학자 표기 에르미트 다항식 \(H_n(x)\)의 \(n\)개 근 \(x_i\)에서 피적분함수를 계산한 뒤, 가중치 $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^{2}\,[H_{n-1}(x_i)]^{2}}$$를 곱해 합산합니다. f-모드에서는 추정값이 다음과 같습니다. $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i)$$ g-모드에서는 수정 가중치 \(W_i = w_i\, e^{x_i^{2}}\)로 가중치를 다시 나눠 주어 다음 합을 구합니다. $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i)$$ 여기서 노드와 가중치는 수치적으로 안정적인 Golub-Welsch 알고리즘으로 계산되며, 이 알고리즘은 대칭 삼중대각 야코비 행렬의 고윳값과 고유벡터를 통해 노드와 가중치를 찾아냅니다.

적분은 가중치 \(w_i\)를 가진 \(n\)개의 노드 \(x_i\)에 대한 유한 가중합으로 대체됩니다.

계산 예시

f-모드에서 \(f(x) = 1\), \(n = 2\)인 경우를 봅시다. 두 노드는 \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)이며 가중치는 둘 다 \(w = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 0.8862269255\)로 같습니다. 합은 $$0.8862269255 + 0.8862269255 = 1.7724538509$$이며, 이는 실수 전체 구간에서 \(e^{-x^{2}}\)를 적분한 참값인 \(\sqrt{\pi}\)와 정확히 일치합니다. 마찬가지로 g-모드에서 \(g(x) = e^{-x^{2}}\), \(n = 2\)로 두면 수정 가중치가 동일한 답 \(1.7724538509\)를 그대로 복원합니다.

자주 묻는 질문

언제 수렴이 느려지나요? 피적분함수가 \(e^{-x^{2}}\) 곱하기 다항식의 형태로 잘 근사되지 않을 때입니다. 예를 들어 다항식보다 느리게 감쇠하는 함수, 두꺼운 꼬리(fat tail)를 가진 함수, 실수축 위에 특이점이 있는 함수가 그렇습니다. 이럴 때는 \(n\)을 늘리거나 다른 방법을 쓰세요.

g-모드에서 \(e^{x_i^{2}}\) 인자는 무슨 역할을 하나요? 내장된 가우스 가중치를 상쇄해 피적분함수 전체를 그대로 입력할 수 있게 해 줍니다. 다만 바깥쪽 노드에서는 이 값이 매우 커질 수 있으므로, 좋은 결과를 얻으려면 \(g(x)\)가 적어도 \(e^{-x^{2}}\)만큼 빠르게 감쇠해야 합니다.

다항식에 대해서는 정확한가요? 네, f-모드에서는 차수가 \(2n-1\) 이하인 모든 다항식을 정확하게 적분합니다.