이 계산기의 기능
이 도구는 고전적인 가우스 구적법(Gaussian quadrature)에 사용되는 노드(적분점 \(x_i\))와 가중치 \(w_i\)를 계산합니다. 이 값들을 이용하면 가중 적분을 유한한 가중합으로 근사할 수 있으며, 표준 가우스 공식의 경우 차수 \(2n-1\) 이하의 다항식을 오차 없이 정확하게 적분합니다. 지원하는 공식은 가우스-르장드르, 제1종·제2종 체비쇼프, 일반화 라게르, 에르미트, 야코비, 가우스-로바토입니다.
사용 방법
먼저 "종류"에서 원하는 공식을 선택하고, 차수 \(n\)(노드 개수, 2~100)을 지정합니다. 라게르나 야코비를 선택한 경우에는 지수 매개변수 Alpha와 Beta(각각 \(-1\)보다 커야 함)를 입력하세요. 결과에는 각 노드와 해당 가중치, 그리고 가중치의 합이 표시됩니다. 이 합은 가중 함수의 0차 모멘트와 같아야 하며, 르장드르의 경우 2, 에르미트의 경우 \(\sqrt{\pi}\)가 됩니다.
공식 설명
삼항 점화식을 갖는 직교 다항식 계열에서 노드는 \(n\)차 다항식의 근이며, 가중치는 대칭 삼중대각 야코비 행렬 \(J\)의 고유벡터로부터 얻습니다(골루브-웰시 방법): \(w_i = \mu_0 (v_{1,i})^2\). 체비쇼프 공식은 정확한 삼각함수 닫힌 형태를 사용하고, 르장드르와 로바토는 르장드르 다항식에 대한 뉴턴 반복법을, 라게르·에르미트·야코비는 야코비 행렬 고유값 해법을 사용합니다.
계산 예시
\(n = 2\)인 가우스-르장드르: 노드는 \(\pm 1/\sqrt{3} = 0.5773502692\)이고 두 가중치 모두 1이므로 가중치의 합은 2입니다. 검산해 보면, \([-1, 1]\) 구간에서 \(x^2\)의 적분은 \(2/3\)이고, 이 공식으로 계산하면 $$1\cdot\tfrac{1}{3} + 1\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}$$ 로 일치합니다.
![Symmetric Gauss-Legendre nodes on [-1,1] with weight bars tallest at the center](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-3af7a8df1c/gauss-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
자주 묻는 질문
가중치가 왜 양수여야 하나요? 고전적인 가우스 공식에서는 모든 가중치가 엄밀히 양수입니다. 음의 가중치가 나타난다면 수치 오차가 발생했다는 신호입니다.
가중치의 합은 무엇을 의미하나요? 해당 구간에서 가중 함수를 적분한 값(0차 모멘트)과 같습니다. 에르미트의 경우 \(e^{-x^2}\)를 전체 실수 직선에서 적분하면 \(\sqrt{\pi}\)가 됩니다.
Alpha와 Beta는 왜 \(-1\)보다 커야 하나요? 그렇지 않으면 가중 함수가 적분 불가능해지고 모멘트가 발산하므로, 유효한 구적 공식이 존재하지 않기 때문입니다.
