Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет узлы (абсциссы \(x_i\)) и веса \(w_i\) для классических квадратурных формул Гаусса. С их помощью взвешенный интеграл заменяется конечной взвешенной суммой, причём стандартные формулы Гаусса точно интегрируют любые многочлены степени до \(2n-1\). Поддерживаются формулы: Гаусса-Лежандра, Чебышёва первого и второго рода, обобщённого Лагерра, Эрмита, Якоби и Гаусса-Лобатто.
Как пользоваться
Выберите тип формулы в разделе «Тип», задайте порядок \(n\) (число узлов, от 2 до 100), а для Лагерра или Якоби укажите параметры-показатели \(\alpha\) и \(\beta\) (каждый должен быть больше \(-1\)). В результате вы получите все узлы с их весами, а также сумму весов: она должна совпадать с нулевым моментом весовой функции (для Лежандра это 2, для Эрмита — квадратный корень из пи).
Разбор формулы
Для семейства ортогональных многочленов, заданного трёхчленным рекуррентным соотношением, узлы — это корни многочлена степени \(n\), а веса находятся из собственных векторов симметричной трёхдиагональной матрицы Якоби \(J\) (метод Голуба-Уэлша): \(w_i = \mu_0 (v_{1,i})^2\). Для формул Чебышёва используются точные тригонометрические выражения, для Лежандра и Лобатто — итерации Ньютона по многочлену Лежандра, а для Лагерра, Эрмита и Якоби — решение задачи на собственные значения матрицы Якоби.
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i), \qquad \text{Gauss-Legendre}$$
Пример расчёта
Гаусс-Лежандр при \(n = 2\): узлы равны плюс и минус \(\frac{1}{\sqrt{3}} = 0.5773502692\), оба веса равны 1, поэтому их сумма равна 2. Проверка: интеграл от \(x^2\) на отрезке \([-1, 1]\) равен \(\frac{2}{3}\), а формула даёт $$1\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right) + 1\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}.$$
![Symmetric Gauss-Legendre nodes on [-1,1] with weight bars tallest at the center](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-3af7a8df1c/gauss-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Частые вопросы
Почему веса должны быть положительными? Для классических формул Гаусса все веса строго положительны; отрицательный вес говорит о вычислительной ошибке.
Что означает сумма весов? Она равна интегралу весовой функции по отрезку (нулевому моменту). Для Эрмита функция \(e^{-x^2}\) интегрируется по всей прямой и даёт \(\sqrt{\pi}\).
Почему \(\alpha\) и \(\beta\) должны быть больше \(-1\)? Иначе весовая функция неинтегрируема, моменты расходятся, и корректной формулы попросту не существует.
