Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет узлы (абсциссы) \(x_i\) и веса \(w_i\) для n-точечной обобщённой квадратуры Гаусса–Лагерра. Это чисто математический инструмент численного интегрирования, который работает одинаково в любой стране. Формула приближённо вычисляет интегралы на полубесконечном промежутке [0, ∞) с весовой функцией \(x^{\alpha}e^{-x}\):
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$Узлы — это положительные нули обобщённого многочлена Лагерра \(L_n^{(\alpha)}(x)\), а сама формула точна для любого многочлена \(f\) степени не выше \(2n-1\).
Как пользоваться
Задайте порядок n (число точек, от 2 до 100), введите параметр степени \(\alpha\) (любое вещественное число больше \(-1\); классическая квадратура Гаусса–Лагерра соответствует \(\alpha = 0\)) и выберите, сколько значащих цифр выводить. В результате вы получите все узлы и соответствующие им веса, упорядоченные по возрастанию \(x_i\), а также встроенную проверку.
Формула и метод
Каждый вес задаётся замкнутой формулой $$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)]^2}.$$ Внутри калькулятор использует эквивалентный и численно устойчивый метод Голуба–Уэлша: строится симметричная трёхдиагональная матрица Якоби с диагональю \(a_k = 2k+\alpha+1\) и побочными диагоналями \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\). Её собственные значения и есть узлы, а каждый вес равен \(\mu_0\cdot(\text{первая компонента собственного вектора})^2\), где \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\) — нулевой момент. Такой подход исключает переполнение из-за больших факториалов.
Разбор примера
Пусть \(n = 2\), \(\alpha = 0\): \(L_2^{(0)}(x) = (x^2-4x+2)/2\), поэтому корни равны \(x = 2 \pm \sqrt{2}\), то есть \(x_1 = 0{,}5857864\) и \(x_2 = 3{,}4142136\). Веса составляют $$w_1 = \frac{2+\sqrt{2}}{4} = 0{,}8535534 \quad\text{и}\quad w_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{4} = 0{,}1464466.$$ Их сумма равна \(1 = \Gamma(1)\), что подтверждает правильность расчёта.
Частые вопросы
Зачем нужен параметр \(\alpha\)? Он задаёт вес \(x^{\alpha}\); при \(\alpha = 0\) получается стандартная квадратура Гаусса–Лагерра, а при \(\alpha > 0\) вес смещается дальше от нуля. Значение должно быть больше \(-1\).
Насколько точен расчёт? n-точечная формула интегрирует многочлены степени до \(2n-1\) точно; для гладких функций сходимость очень быстрая.
Как проверить результат? Сумма всех весов всегда равна \(\Gamma(\alpha+1)\) — это значение показано в строке нулевого момента.
