가우스-라게르 구적법 노드·가중치 계산기

계산 입력

차수 n 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 25 30 40 50 60 80 100

α (exponent parameter)

표시 자릿수 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

결과

가우스-라게르 구적법

n = 20, α = 3

20 nodes and weights for ∫₀^∞ x^α e^-x f(x) dx

Zeroth moment μ0 = Γ(α+1)	6
Sum of weights (check, = μ0)	6
First node x1	0.4637078279
First weight w1	0.0321755235

i	Node xi	Weight wi
1	9.223372036854776E-4	9.223372036854777E-5
2	0.009223372036854775	9.223372036854776E-4
3	0.009223372036854775	0.009223372036854775
4	0.009223372036854775	0.009223372036854775
5	0.009223372036854775	0.009223372036854775
6	0.009223372036854775	9.223372036854776E-4
7	0.009223372036854775	9.223372036854776E-4
8	0.009223372036854775	9.223372036854776E-4
9	0.09223372036854775	9.223372036854777E-5
10	0.09223372036854775	9.223372036854777E-6
11	0.09223372036854775	9.223372036854775E-7
12	0.09223372036854775	9.223372036854775E-8
13	0.09223372036854775	9.223372036854777E-10
14	0.09223372036854775	9.223372036854777E-11
15	0.09223372036854775	9.223372036854777E-13
16	0.09223372036854775	9.223372036854776E-15
17	0.09223372036854775	9.223372036854776E-17
18	0.09223372036854775	9.223372036854775E-20
19	0.09223372036854775	9.223372036854775E-24
20	0.09223372036854775	9.223372036854776E-28

이 계산기의 기능

이 도구는 n점 일반화 가우스-라게르 구적법(generalized Gauss-Laguerre quadrature)의 노드(가로좌표) \(x_i\)와 가중치 \(w_i\)를 계산합니다. 국가나 지역에 관계없이 동일하게 적용되는 순수 수학 기반의 수치적분 도구입니다. 이 구적 규칙은 가중함수 \(x^{\alpha} e^{-x}\)를 포함하는 반무한 구간 [0, ∞) 위의 적분을 근사합니다.

$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i).$$

노드는 일반화 라게르 다항식 \(L_n^{(\alpha)}(x)\)의 양의 근이며, f가 차수 \(2n-1\) 이하의 다항식일 때 이 규칙은 정확한 값을 줍니다.

가우스-라게르 구적법은 특수 노드의 가중 표본을 사용해 [0, 무한대) 구간에서 x^alpha e^-x f(x) 아래 면적을 근사합니다.

사용 방법

차수 n(점의 개수, 2부터 100까지)을 선택하고, 지수 매개변수 α(−1보다 큰 임의의 실수; 고전적인 가우스-라게르 규칙은 \(\alpha = 0\)을 사용)를 입력한 뒤, 표시할 유효 자릿수를 지정하세요. 결과에는 각 노드와 그에 대응하는 가중치가 \(x_i\)의 오름차순으로 정리되어 나타나며, 자체 검산 항목도 함께 제공됩니다.

공식과 계산 방법

각 가중치는 닫힌 형태의 공식 $$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot\left[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)\right]^2}$$을 만족합니다. 내부적으로는 이와 동등하면서 수치적으로 안정적인 골루브-벨치(Golub-Welsch) 방법을 사용합니다. 즉, 대각 성분이 \(a_k = 2k+\alpha+1\)이고 비대각 성분이 \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\)인 대칭 삼중대각 야코비 행렬을 구성합니다. 이 행렬의 고윳값이 노드가 되고, 각 가중치는 \(\mu_0\cdot(\text{고유벡터의 첫 성분})^2\)과 같으며, 여기서 \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\)은 0차 모멘트입니다. 이 방식은 큰 팩토리얼에서 발생하는 오버플로를 방지해 줍니다.

각 노드 x_i는 가중치 w_i를 가지며, 노드는 0 근처에 모이고 바깥으로 갈수록 가중치가 급격히 감소합니다.

계산 예시

\(n = 2\), \(\alpha = 0\)인 경우: \(L_2^{(0)}(x) = (x^2-4x+2)/2\)이므로 근은 \(x = 2 \pm \sqrt{2}\)이고, 따라서 \(x_1 = 0.5857864\), \(x_2 = 3.4142136\)이 됩니다. 가중치는 \(w_1 = (2+\sqrt{2})/4 = 0.8535534\), \(w_2 = (2-\sqrt{2})/4 = 0.1464466\)입니다. 두 가중치의 합은 \(1 = \Gamma(1)\)로, 결과가 올바름을 확인할 수 있습니다.

자주 묻는 질문

α는 어떤 역할을 하나요? α는 가중치 \(x^{\alpha}\)를 결정합니다. \(\alpha = 0\)이면 표준 가우스-라게르 규칙이 되고, \(\alpha > 0\)이면 원점에서 멀어진 영역에 더 큰 가중치를 둡니다. 반드시 −1보다 커야 합니다.

정확도는 어느 정도인가요? n점 규칙은 차수 \(2n-1\) 이하의 다항식을 정확히 적분하며, 매끄러운 함수에 대해서는 빠르게 수렴합니다.

결과를 어떻게 검산하나요? 모든 가중치의 합은 항상 \(\Gamma(\alpha+1)\)과 같으며, 이는 0차 모멘트 행에 표시됩니다.