가우스-크론로드 수치적분 계산기란?
이 계산기는 가우스형 구적법(Gauss-type quadrature)을 사용해 유한 구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 정적분을 계산합니다. 신중하게 선택된 노드(node)에서 피적분 함수의 값을 구한 뒤, 미리 계산된 가중치를 곱해 모두 더하는 방식입니다. 고차 추정값 K를 저차 가우스-르장드르(Gauss-Legendre) 추정값 G와 비교하여 오차 한계 \(|K - G|\)를 산출하므로, 결과의 신뢰도를 함께 확인할 수 있습니다.
사용 방법
x에 대한 수식을 입력합니다(예: 4/(1+x^2) 또는 sin(x)). 그다음 하한 a와 상한 b를 지정하고, 구적법에 사용할 점의 개수 n(3부터 99까지의 홀수)을 선택하세요. 매끄러운 피적분 함수일수록 점이 많을수록 정확도가 높아집니다. 지원하는 문법은 + − * / ^, 괄호와 함께 sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, sinh, cosh, tanh 함수, 그리고 상수 pi와 e입니다.
계산 공식
구적법은 [−1, 1] 구간에서 피적분 함수 값의 가중합으로 정의됩니다. 이를 [a, b] 구간의 적분에 적용하려면 아핀 변수 변환을 사용합니다. 즉 \(x(t) = \frac{b-a}{2} \cdot t + \frac{a+b}{2}\) 이고 \(dx = \frac{b-a}{2} \cdot dt\) 입니다. 따라서 적분값은 \(\frac{b-a}{2}\)에, 가중치 \(w_i\)와 변환된 노드에서의 f 값을 곱한 합을 곱한 것과 같습니다.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$
가우스-르장드르 노드는 르장드르 다항식의 근이며, 이 계산기에서는 뉴턴법(Newton's method)으로 구합니다. 가중치는 \(w_i = \frac{2}{(1 - t_i^2) \cdot P'_m(t_i)^2}\)로 주어집니다.
예제로 살펴보기
구간 [0, pi]에서 f(x) = sin(x)의 정확한 적분값은 \([-\cos(x)]\)를 0부터 pi까지 계산한 \(-\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2\) 입니다. 계산기는 약 2라는 값과 함께 아주 작은 추정 오차를 반환합니다. 마찬가지로 구간 [0, 1]에서 \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\)는 \(4\cdot\arctan(1) = \pi\) 이므로 \(\pi = 3.14159265\)를 반환합니다.
자주 묻는 질문
왜 n은 홀수여야 하나요? 내장된 가우스-크론로드 쌍은 \(m = \frac{n-1}{2}\)개의 가우스 노드를 재사용하는데, 이를 위해서는 전체 노드 수가 홀수여야 하기 때문입니다.
오차 추정치는 무엇을 의미하나요? 고차 추정값과 저차 추정값의 절댓값 차이입니다. 값이 작을수록 수렴이 잘 되었다는 뜻입니다.
특이점(singularity)은 어떻게 처리되나요? 적분 가능한 끝점 특이점은 정확도를 떨어뜨립니다. 유한하지 않은 값은 계산에서 건너뛰며, a = b인 경우에는 정확히 0을 반환합니다.
