Máy tính Tích phân số Gauss-Kronrod là gì?
Công cụ này tính tích phân xác định của hàm số \(f(x)\) trên một khoảng hữu hạn \([a, b]\) bằng phương pháp cầu phương kiểu Gauss. Hàm số được tính giá trị tại các điểm nút được chọn lọc kỹ lưỡng, sau đó nhân với các trọng số đã tính sẵn rồi cộng lại. Một ước lượng bậc cao \(K\) được so sánh với ước lượng Gauss-Legendre bậc thấp hơn \(G\) để tạo ra cận sai số \(|K - G|\), giúp bạn tin tưởng hơn vào kết quả thu được.
Cách sử dụng
Nhập một biểu thức toán học theo biến x (ví dụ 4/(1+x^2) hoặc sin(x)), thiết lập cận dưới a và cận trên b, rồi chọn số điểm n cho quy tắc cầu phương (số lẻ, từ 3 đến 99). Càng nhiều điểm thì độ chính xác càng cao đối với những hàm trơn. Cú pháp được hỗ trợ gồm + - * / ^, dấu ngoặc, cùng các hàm sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, sinh, cosh, tanh, và hai hằng số pi cùng e.
Công thức
Các quy tắc cầu phương được định nghĩa trên \([-1, 1]\) dưới dạng tổng có trọng số của các giá trị hàm số. Để tích phân trên \([a, b]\), ta áp dụng phép đổi biến affine: \(x(t) = \frac{b-a}{2} \cdot t + \frac{a+b}{2}\) với \(dx = \frac{b-a}{2} \cdot dt\). Do đó tích phân bằng \(\frac{b-a}{2}\) nhân với tổng của các trọng số \(w_i\) nhân với giá trị f tại các nút đã ánh xạ.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$Các nút Gauss-Legendre chính là nghiệm của đa thức Legendre, ở đây được tìm bằng phương pháp Newton, với trọng số \(w_i = \dfrac{2}{(1 - t_i^2) \cdot P'_m(t_i)^2}\).
Ví dụ minh họa
Với \(f(x) = \sin(x)\) trên \([0, \pi]\), tích phân chính xác là
$$\left[-\cos(x)\right]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2.$$Máy tính trả về xấp xỉ 2 với sai số ước lượng rất nhỏ. Tương tự, \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) trên \([0, 1]\) trả về \(\pi = 3.14159265\), vì \(4\cdot\arctan(1) = \pi\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao n phải là số lẻ? Cặp Gauss-Kronrod lồng nhau tái sử dụng \(m = \frac{n-1}{2}\) nút Gauss, điều này đòi hỏi tổng số nút phải là số lẻ.
Ước lượng sai số có ý nghĩa gì? Đó là độ chênh lệch tuyệt đối giữa ước lượng bậc cao và bậc thấp; giá trị càng nhỏ cho thấy kết quả càng hội tụ.
Còn các điểm kỳ dị thì sao? Các điểm kỳ dị khả tích ở đầu mút sẽ làm giảm độ chính xác. Những giá trị không hữu hạn sẽ bị bỏ qua, và khi \(a = b\) thì kết quả trả về đúng bằng 0.
