Máy tính cầu phương Gauss là gì?
Đây là một công cụ toán học thuần túy (hoạt động giống hệt nhau ở mọi quốc gia) giúp tính gần đúng một tích phân xác định bằng quy tắc cầu phương Gauss mà bạn chọn. Cầu phương Gauss tính giá trị hàm dưới dấu tích phân tại một số ít điểm được lựa chọn khéo léo gọi là các nút (nodes), nhân mỗi giá trị với một trọng số (weight) tương ứng, rồi cộng tất cả lại. Với \(n\) điểm, phương pháp này tích phân chính xác các đa thức có bậc tối đa \(2n-1\), nhờ vậy nó chính xác hơn rất nhiều so với các phương pháp dùng điểm cách đều như quy tắc hình thang hay quy tắc Simpson đối với những hàm trơn.
Cách sử dụng
Chọn một phương pháp cầu phương, đặt số điểm \(n\), nhập hàm dưới dấu tích phân \(f(x)\) theo cú pháp chuẩn (+ - * / ^, dấu ngoặc, sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pi, e), và đối với các quy tắc hữu hạn thì cung cấp cận \(a\) và \(b\). Hàm trọng số \(w(x)\) đã được tích hợp sẵn trong từng quy tắc, vì vậy bạn chỉ nhập phần trơn \(f(x)\): với Gauss-Laguerre, bỏ thừa số \(x^{\alpha} e^{-x}\); với Gauss-Hermite, bỏ \(e^{-x^2}\); còn với Chebyshev/Jacobi, bỏ trọng số \((1-x^2)\). Ô chọn Số chữ số có nghĩa chỉ thay đổi số chữ số được hiển thị.
Công thức
Mọi quy tắc đều có cùng một dạng: tích phân của \(w(x) f(x)\) trên khoảng chuẩn (canonical) được xấp xỉ bằng tổng của \(w_i\) nhân với \(f(x_i)\), trong đó các nút \(x_i\) là nghiệm của đa thức trực giao tương ứng và \(w_i\) là các trọng số Golub-Welsch. Đối với một khoảng hữu hạn tùy ý \([a,b]\) với trọng số bằng 1, các nút chuẩn \(t_i\) trong \([-1,1]\) được ánh xạ theo công thức $$x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}$$ và toàn bộ tổng được nhân thêm hệ số \(\frac{b-a}{2}\).
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$
Ví dụ minh họa
Chọn Gauss-Legendre, \(n=20\), \(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\), \(a=0\), \(b=1\). Giá trị chính xác là \(4\arctan(1) = \pi = 3.14159265358979\). Quy tắc Legendre 20 điểm ánh xạ các nút vào \([0,1]\), nhân các trọng số với \(\frac{1}{2}\), và trả về \(3.141592653589793\) — khớp với \(\pi\) đến mức chính xác double đầy đủ. Đó cũng chính là lý do \(\frac{4}{1+x^2}\) được đặt làm hàm mặc định.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao kết quả của tôi trông sai với Laguerre hoặc Hermite? Những quy tắc này đã bao gồm sẵn trọng số \(e^{-x}\) hoặc \(e^{-x^2}\); bạn chỉ nhập phần thừa số còn lại, không nhập toàn bộ hàm dưới dấu tích phân. Ví dụ, để tính tích phân của \(e^{-x^2}\) trên toàn trục số, hãy đặt \(f(x)=1\), kết quả sẽ là \(\sqrt{\pi}\).
alpha và beta dùng để làm gì? \(\alpha\) là số mũ trong trọng số Laguerre \(x^{\alpha}\) và là một trong hai số mũ của Jacobi; \(\beta\) là số mũ Jacobi còn lại. Cả hai đều phải lớn hơn \(-1\), nếu không tích phân trọng số sẽ phân kỳ.
Nhiều điểm hơn có luôn tốt hơn không? Với các hàm trơn, \(n\) càng lớn thì độ chính xác càng cao, nhưng với các hàm có điểm kỳ dị hoặc đỉnh nhọn bên trong khoảng thì việc tăng \(n\) có thể gây phản tác dụng. Hãy tăng \(n\) từ từ và theo dõi sự hội tụ.
