गाऊसी क्वाड्रेचर कैलकुलेटर क्या है?
यह एक शुद्ध गणित का उपकरण है (हर देश में यह बिलकुल एक जैसा काम करता है) जो आपके चुने हुए गाऊसी क्वाड्रेचर नियम का उपयोग करके किसी निश्चित समाकल (definite integral) का संख्यात्मक अनुमान लगाता है। गाऊसी क्वाड्रेचर इंटीग्रैंड का मूल्यांकन कुछ चुनिंदा बिंदुओं पर करता है जिन्हें नोड (nodes) कहते हैं, हर मान को उससे मेल खाते भार (weight) से गुणा करता है, और फिर सबको जोड़ देता है। \(n\) बिंदुओं के साथ यह \(2n-1\) घात तक के बहुपदों को बिलकुल सटीक रूप से समाकलित करता है, जिससे यह सुचारू (smooth) फलनों के लिए ट्रैपेज़ॉइड या सिम्पसन जैसे समान-दूरी वाले तरीकों से कहीं अधिक सटीक हो जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
एक क्वाड्रेचर विधि चुनें, बिंदुओं की संख्या \(n\) तय करें, इंटीग्रैंड \(f(x)\) को मानक सिंटैक्स में लिखें (+ - * / ^, कोष्ठक, sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pi, e), और परिमित (finite) नियमों के लिए सीमाएं \(a\) और \(b\) दें। भार फलन \(w(x)\) हर नियम में पहले से ही समाहित है, इसलिए केवल सुचारू भाग \(f(x)\) ही दर्ज करें: गाऊस-लागेर के लिए \(x^{\alpha} e^{-x}\) वाला गुणांक छोड़ दें, गाऊस-हर्मिट के लिए \(e^{-x^2}\) छोड़ दें, और चेबीशेव/जैकोबी के लिए \((1-x^2)\) भार छोड़ दें। "महत्वपूर्ण अंक" वाला ड्रॉपडाउन केवल यह बदलता है कि कितने अंक दिखाए जाएं।
सूत्र
हर नियम का आकार एक जैसा होता है: कैनॉनिकल अंतराल पर \(w(x) f(x)\) का समाकल, \(w_i\) गुणा \(f(x_i)\) के योग से अनुमानित किया जाता है, जहां नोड \(x_i\) संबंधित ऑर्थोगोनल बहुपद के मूल (roots) हैं और \(w_i\) गोलब-वेल्श भार हैं।
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$भार 1 वाले किसी परिमित मनमाने अंतराल \([a,b]\) के लिए, \([-1,1]\) में कैनॉनिकल नोड \(t_i\) को \(x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}\) द्वारा मैप किया जाता है और पूरे योग को \(\frac{b-a}{2}\) से स्केल किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
गाऊस-लीजेंड्रे चुनें, \(n=20\), \(f(x)=4/(1+x^2)\), \(a=0\), \(b=1\)। सटीक मान है $$4\arctan(1) = \pi = 3.14159265358979$$ 20-बिंदु वाला लीजेंड्रे नियम नोड को \([0,1]\) में मैप करता है, भार को \(1/2\) से स्केल करता है, और \(3.141592653589793\) लौटाता है — जो पूरी डबल-परिशुद्धता तक \(\pi\) से मेल खाता है। यही कारण है कि \(4/(1+x^2)\) डिफ़ॉल्ट इंटीग्रैंड है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
लागेर या हर्मिट के लिए मेरा उत्तर गलत क्यों दिखता है? इन नियमों में \(e^{-x}\) या \(e^{-x^2}\) भार पहले से ही शामिल होता है; केवल बचा हुआ गुणांक दर्ज करें, पूरा इंटीग्रैंड नहीं। उदाहरण के लिए पूरी रेखा पर \(e^{-x^2}\) का समाकल पाने के लिए \(f(x)=1\) सेट करें, जिससे \(\sqrt{\pi}\) मिलता है।
alpha और beta क्या करते हैं? \(\alpha\) लागेर के \(x^{\alpha}\) भार में और एक जैकोबी घातांक में मौजूद घातांक है; \(\beta\) दूसरा जैकोबी घातांक है। दोनों का \(-1\) से अधिक होना ज़रूरी है, वरना भार समाकल अपसरित (diverge) हो जाता है।
क्या ज़्यादा बिंदु हमेशा मदद करते हैं? सुचारू फलनों के लिए ज़्यादा \(n\) सटीकता बढ़ाता है, लेकिन अंतराल के भीतर विचित्रताओं (singularities) या तीखे शिखरों वाले फलनों के लिए यह नुकसानदेह हो सकता है। \(n\) को धीरे-धीरे बढ़ाएं और अभिसरण (convergence) पर ध्यान रखें।
