Калькулятор численного интегрирования методом квадратур Гаусса

Введите расчет

Метод квадратуры Гаусса-Лежандра (w=1, [−1,1]) Чебышёва 1-го рода (w=1/sqrt(1−x^2)) Чебышёва 2-го рода (w=sqrt(1−x^2)) Гаусса-Лагерра (w=x^a·e^−x, [0,inf)) Гаусса-Эрмита (w=e^−x^2, (−inf,inf)) Гаусса-Якоби (w=(1−x)^a·(1+x)^b) Гаусса-Лобатто (w=1, с включением концов отрезка) Гаусса-Кронрода (w=1, расширение Лежандра)

Число точек / разбиений n 23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

f(x)

Нижний предел a

Верхний предел b

alpha (Laguerre/Jacobi, >-1)

beta (Jacobi, >-1)

Значащие цифры 61014182226303438424650

Результатов

Приближённое значение интеграла

3,1415926535897927

Сумма w_i · f(x_i)

Метод	legendre
Точки (n)	20
Отображаемые цифры	22

Что такое калькулятор квадратур Гаусса?

Это чисто математический инструмент (он работает одинаково в любой стране), который численно приближает определённый интеграл с помощью выбранной вами квадратурной формулы Гаусса. Метод Гаусса вычисляет значение подынтегральной функции в небольшом наборе специально подобранных точек — узлов, умножает каждое значение на соответствующий вес и складывает результаты. При n узлах формула точно интегрирует многочлены до степени \(2n-1\), поэтому для гладких функций она оказывается гораздо точнее методов с равномерным шагом — например, формулы трапеций или Симпсона.

Как пользоваться калькулятором

Выберите метод квадратуры, задайте число точек n, введите подынтегральную функцию \(f(x)\) в стандартном синтаксисе (+ − * / ^, скобки, sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pi, e), а для формул с конечным интервалом укажите пределы a и b. Весовая функция \(w(x)\) уже встроена в каждую формулу, поэтому вводите только гладкую часть \(f(x)\): для Гаусса-Лагерра опустите множитель \(x^{\alpha}\cdot e^{-x}\), для Гаусса-Эрмита — \(e^{-x^2}\), а для Чебышёва/Якоби — вес \((1-x^2)\). Список «Значащие цифры» влияет только на то, сколько знаков отображается в ответе.

Формула

Все формулы устроены одинаково: интеграл от \(w(x)\cdot f(x)\) по каноническому отрезку приближается суммой \(w_i\cdot f(x_i)\), где узлы \(x_i\) — это корни соответствующего ортогонального многочлена, а веса \(w_i\) вычисляются по методу Голуба-Велша. Для произвольного конечного отрезка \([a,b]\) с весом 1 канонические узлы \(t_i\) из \([-1,1]\) переводятся по формуле

$$x_i = \frac{b-a}{2}\, t_i + \frac{a+b}{2}$$

а вся сумма умножается на \(\frac{b-a}{2}\).

Квадратура Гаусса приближает площадь под \(f(x)\) с помощью оптимально расположенных узлов \(x_i\) с весами \(w_i\).

Разбор примера

Выберите метод Гаусса-Лежандра, \(n=20\), \(f(x)=\dfrac{4}{1+x^2}\), \(a=0\), \(b=1\). Точное значение равно \(4\cdot\arctan(1) = \pi = 3{,}14159265358979\). 20-точечная формула Лежандра переносит узлы в отрезок \([0,1]\), умножает веса на \(\frac{1}{2}\) и возвращает \(3{,}141592653589793\) — совпадение с числом \(\pi\) с полной двойной точностью. Именно поэтому \(\dfrac{4}{1+x^2}\) задана как подынтегральная функция по умолчанию.

Больше узлов (выше порядок \(n\)) — они сгущаются к концам интервала и повышают точность.

Частые вопросы

Почему результат для Лагерра или Эрмита выглядит неверным? В этих формулах вес \(e^{-x}\) или \(e^{-x^2}\) уже учтён; вводите только оставшийся множитель, а не всю функцию целиком. Например, чтобы получить интеграл от \(e^{-x^2}\) по всей прямой, задайте \(f(x)=1\) — это даст \(\sqrt{\pi}\).

Для чего нужны alpha и beta? \(\alpha\) — это показатель степени в весе Лагерра \(x^{\alpha}\) и один из показателей Якоби; \(\beta\) — второй показатель Якоби. Оба должны быть больше \(-1\), иначе интеграл от весовой функции расходится.

Всегда ли больше точек значит точнее? Для гладких функций увеличение \(n\) повышает точность, но для функций с особенностями или резкими пиками внутри интервала это может, наоборот, навредить. Увеличивайте \(n\) постепенно и следите за сходимостью.