Что делает этот калькулятор
Инструмент приближённо вычисляет определённый интеграл функции f(x) на конечном отрезке [a, b], используя составной метод трапеций. Он подходит для любой аналитической непериодической подынтегральной функции и относится к универсальной математике — результат не зависит от единиц измерения, валюты или страны. Вы вводите функцию, нижний и верхний пределы, а также максимальное число подынтервалов; калькулятор уточняет оценку, последовательно удваивая количество разбиений, и показывает сходящуюся последовательность значений.
Как пользоваться
Запишите функцию через переменную x — поддерживаются операторы + - * /, степени (^ или **) и функции sin, cos, tan, exp, log (натуральный логарифм), ln, sqrt, abs, а также константы pi и e. Укажите пределы \(a\) и \(b\) (любые вещественные числа; если \(a > b\), знак учитывается автоматически). Выберите максимальное число разбиений \(N\) (степень двойки от 32 до 2048). Итоговый ответ \(S\) — это значение по методу трапеций при наибольшем \(N\).
Разбор формулы
Разбиваем [a, b] на \(n\) равных частей шириной \(h = (b - a) / n\). Метод трапеций заменяет кривую на каждом участке прямой линией и суммирует площади получившихся трапеций:
$$S(n) = \frac{h}{2}\cdot\left[ f(a) + 2\cdot\bigl(f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h)\bigr) + f(b) \right]$$ Крайние точки берутся с весом 1, а каждый внутренний узел — с весом 2. Погрешность убывает как \(O(h^2)\), поэтому для гладких функций удвоение \(n\) уменьшает ошибку примерно в четыре раза.
Разобранный пример
Возьмём \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) на [0, 1] — её точное значение равно \(\pi\). При \(n = 2\), \(h = 0.5\): \(f(0)=4\), \(f(0.5)=3.2\), \(f(1)=2\), поэтому $$S = 0.25\cdot(4 + 2\cdot 3.2 + 2) = 3.1$$ При \(n = 4\) получаем \(3.131176\), при \(n = 8\) — \(3.138988\), а при \(n = 64\) значение составляет около \(3.141552\) — всё ближе к \(\pi = 3.14159265\ldots\)
Частые вопросы
Почему результат немного неточен? Метод трапеций даёт приближённое значение. Увеличьте \(N\) для большей точности; таблица сходимости показывает, насколько быстро значение стабилизируется.
Можно ли интегрировать периодические функции или функции с особенностями? Метод рассчитан на гладкую непериодическую подынтегральную функцию. При особенностях на концах отрезка или внутри него результат может оказаться неверным или неопределённым — используйте специализированный метод.
Что если \(a\) равно \(b\)? Интеграл по отрезку нулевой длины равен 0 — калькулятор сразу возвращает это значение.
