Ce que fait ce calculateur
Cet outil approche l'intégrale définie d'une fonction \(f(x)\) sur un intervalle fini \([a, b]\) à l'aide de la méthode des trapèzes composite. Il fonctionne pour toute fonction à intégrer analytique et non périodique : il s'agit de mathématiques universelles — le résultat ne dépend ni des unités, ni d'une devise, ni d'un pays. Vous indiquez la fonction, les bornes inférieure et supérieure, ainsi que le nombre maximal de sous-intervalles ; le calculateur affine alors l'estimation en doublant successivement le nombre de subdivisions et affiche la suite des valeurs qui convergent.
Comment l'utiliser
Saisissez votre fonction en fonction de x — les opérateurs + - * /, les puissances (^ ou **) et des fonctions telles que sin, cos, tan, exp, log (logarithme népérien), ln, sqrt, abs, ainsi que les constantes pi et e, sont pris en charge. Renseignez les bornes \(a\) et \(b\) (n'importe quels réels ; si \(a > b\), le signe est géré automatiquement). Choisissez le nombre maximal de subdivisions \(N\) (une puissance de deux comprise entre 32 et 2048). La valeur \(S\) retournée correspond à l'estimation des trapèzes obtenue pour le plus grand \(N\).
La formule expliquée
On découpe \([a, b]\) en \(n\) morceaux égaux de largeur \(h = (b - a) / n\). La méthode des trapèzes remplace la courbe sur chaque morceau par un segment de droite, puis additionne les aires des trapèzes ainsi obtenus :
$$S(n) = \frac{h}{2}\left[ f(a) + 2\bigl(f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h)\bigr) + f(b) \right]$$ Les bornes sont pondérées une seule fois, tandis que chaque nœud intérieur l'est deux fois. L'erreur décroît en \(O(h^2)\) : doubler \(n\) divise donc l'erreur par environ quatre pour les fonctions régulières.
Exemple résolu
Prenons \(f(x) = \dfrac{4}{1+x^2}\) sur \([0, 1]\), dont la valeur exacte vaut \(\pi\). Avec \(n = 2\), \(h = 0{,}5\) : \(f(0)=4\), \(f(0{,}5)=3{,}2\), \(f(1)=2\), d'où $$S = 0{,}25\cdot(4 + 2\cdot 3{,}2 + 2) = 3{,}1.$$ Avec \(n = 4\), on obtient \(3{,}131176\) ; avec \(n = 8\), \(3{,}138988\) ; et pour \(n = 64\), la valeur avoisine \(3{,}141552\) — se rapprochant de \(\pi = 3{,}14159265\ldots\)
FAQ
Pourquoi mon résultat est-il légèrement faux ? La méthode des trapèzes est une approximation. Augmentez \(N\) pour gagner en précision ; le tableau de convergence montre la vitesse à laquelle la valeur se stabilise.
Puis-je intégrer des fonctions périodiques ou singulières ? La méthode suppose une fonction à intégrer régulière et non périodique. En présence de singularités aux bornes ou à l'intérieur de l'intervalle, le résultat peut être erroné ou indéfini — mieux vaut alors recourir à une méthode dédiée.
Que se passe-t-il si \(a\) est égal à \(b\) ? L'intégrale sur un intervalle de largeur nulle vaut 0, valeur que le calculateur retourne directement.
