ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بتقريب قيمة التكامل المحدد لدالة \(f(x)\) على مجال منتهٍ \([a, b]\) باستخدام قاعدة شبه المنحرف المركّبة. وهي تصلح لأي دالة تحليلية غير دورية، كما أنها رياضيات عامة لا ترتبط بأي بلد — فالنتيجة لا تعتمد على الوحدات ولا على العملة ولا على الجهة الجغرافية. كل ما عليك هو إدخال الدالة، والحدّين الأدنى والأعلى، وأكبر عدد من التقسيمات الجزئية؛ وبعدها تحسّن الحاسبة التقدير عبر مضاعفة عدد التقسيمات مرارًا، وتعرض لك متتالية القيم وهي تتقارب نحو القيمة الصحيحة.
طريقة الاستخدام
اكتب دالتك بدلالة x — وتدعم الحاسبة العمليات + - * /، والأسس (^ أو **)، ودوالّ مثل sin وcos وtan وexp وlog (اللوغاريتم الطبيعي) وln وsqrt وabs، إضافة إلى الثابتين pi وe. ثم أدخل الحدّين \(a\) و\(b\) (أي عددين حقيقيين؛ وإذا كان \(a\) أكبر من \(b\) فإن الإشارة تُعالَج تلقائيًا). اختر بعد ذلك أكبر عدد من التقسيمات \(N\) (وهو من قوى العدد اثنين، من 32 حتى 2048). والقيمة \(S\) الناتجة هي قيمة شبه المنحرف عند أكبر قيمة لـ \(N\).
شرح الصيغة
نقسّم المجال \([a, b]\) إلى \(n\) قطعة متساوية، عرض كل منها \(h = (b - a) / n\). تستبدل قاعدة شبه المنحرف المنحنى فوق كل قطعة بخط مستقيم، ثم تجمع مساحات أشباه المنحرفات الناتجة:
$$S(n) = \frac{h}{2} \cdot \left[ f(a) + 2\cdot\left(f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h)\right) + f(b) \right]$$ فيؤخذ الطرفان بوزن واحد، بينما تؤخذ كل نقطة داخلية بوزن مضاعف. ويتناقص الخطأ بمعدل \(O(h^2)\)، لذا فإن مضاعفة \(n\) تقلّل الخطأ نحو أربعة أمثال تقريبًا في الدوال الملساء.
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = 4/(1+x^2)\) على المجال \([0, 1]\)، التي تساوي قيمتها الدقيقة \(\pi\). عند \(n = 2\) و\(h = 0.5\) لدينا: \(f(0)=4\)، و\(f(0.5)=3.2\)، و\(f(1)=2\)، إذن $$S = 0.25\cdot(4 + 2\cdot3.2 + 2) = 3.1$$ وعند \(n = 4\) تحصل على \(3.131176\)، وعند \(n = 8\) تكون النتيجة \(3.138988\)، وعند \(n = 64\) تصبح القيمة نحو \(3.141552\) — وهي تقترب أكثر فأكثر من \(\pi = 3.14159265\ldots\)
الأسئلة الشائعة
لماذا تختلف نتيجتي قليلًا عن المتوقع؟ قاعدة شبه المنحرف تقريبية بطبيعتها. زِد قيمة \(N\) للحصول على دقة أعلى؛ ويوضّح لك جدول التقارب مدى سرعة استقرار القيمة.
هل يمكنني حساب تكامل الدوال الدورية أو ذات الشذوذ (التفرّد)؟ تفترض الطريقة دالة ملساء غير دورية. أما عند وجود تفرّد عند الطرفين أو داخل المجال فقد تكون النتيجة خاطئة أو غير معرّفة — ويُستحسن عندئذٍ استخدام طريقة مخصّصة لذلك.
ماذا يحدث إذا كان \(a\) يساوي \(b\)؟ يكون التكامل على مجال عرضه صفر مساويًا للصفر، وهو ما تُرجِعه الحاسبة مباشرة.
