ما هي حاسبة التكامل العددي بطريقة غاوس-كرونرود؟
تحسب هذه الأداة التكامل المحدد لدالة \(f(x)\) على فترة منتهية \([a, b]\) باستخدام تربيع من نوع غاوس. فهي تُقيّم الدالة المُكامَلة عند نقاط مختارة بعناية، وتضربها في أوزان محسوبة مسبقًا، ثم تجمع المساهمات. وتُقارَن قيمة ذات رتبة أعلى \(K\) مع قيمة غاوس-لوجاندر ذات رتبة أدنى \(G\) لإنتاج حد للخطأ مقداره \(|K - G|\)، ما يمنحك ثقة في النتيجة.
طريقة الاستخدام
أدخل تعبيرًا رياضيًا بدلالة \(x\) (مثل 4/(1+x^2) أو sin(x))، وحدّد الحد الأدنى \(a\) والحد الأعلى \(b\)، واختر عدد النقاط \(n\) للقاعدة (عدد فردي، من 3 إلى 99). كلما زاد عدد النقاط ارتفعت الدقة عند تكامل الدوال الناعمة. تشمل الصيغ المدعومة العمليات + - * / ^ والأقواس، إضافة إلى sin وcos وtan وasin وacos وatan وexp وln وlog وsqrt وabs وsinh وcosh وtanh، فضلًا عن الثابتين pi وe.
الصيغة الرياضية
تُعرّف قواعد التربيع على الفترة \([-1, 1]\) بوصفها مجموعًا موزونًا لقيم الدالة المُكامَلة. وللتكامل على \([a, b]\) يُطبَّق تغيير متغير تآلفي: \(x(t) = \frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2}\) مع \(dx = \frac{b-a}{2}\, dt\). وبذلك يساوي التكامل:
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$ونقاط غاوس-لوجاندر هي جذور كثيرة حدود لوجاندر، وتُوجَد هنا بطريقة نيوتن، بأوزان \(w_i = \dfrac{2}{(1 - t_i^2)\, P'_m(t_i)^2}\).
مثال محلول
بالنسبة للدالة \(f(x) = \sin(x)\) على الفترة \([0, \pi]\)، فإن التكامل الدقيق هو
$$[-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$$تُرجِع الحاسبة قيمة 2 تقريبًا بخطأ مُقدَّر ضئيل جدًا. وعلى نحو مماثل، تُرجِع الدالة \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) على الفترة \([0, 1]\) قيمة \(\pi = 3.14159265\)، لأن \(4\cdot\arctan(1) = \pi\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون \(n\) عددًا فرديًا؟ يعيد زوج غاوس-كرونرود المُضمَّن استخدام \(m = \frac{n-1}{2}\) من نقاط غاوس، وهو ما يستلزم أن يكون إجمالي عدد النقاط فرديًا.
ماذا يعني تقدير الخطأ؟ هو الفرق المطلق بين القيمة ذات الرتبة العليا والقيمة ذات الرتبة الدنيا؛ والقيمة الصغيرة تدل على التقارب.
وماذا عن النقاط الشاذة؟ تؤدي النقاط الشاذة القابلة للتكامل عند طرفي الفترة إلى خفض الدقة. وتُتجاوز القيم غير المنتهية، كما يُرجِع تساوي \(a = b\) صفرًا تمامًا.
