ガウス-クロンロッド数値積分とは
このツールは、有限区間[a, b]における関数 \(f(x)\) の定積分を、ガウス型求積法によって計算します。あらかじめ厳選された分点（ノード）で被積分関数の値を評価し、それぞれに対応する重み係数を掛け合わせて総和を取ることで積分値を求めます。さらに、高次の推定値 \(K\) と低次のガウス-ルジャンドル推定値 \(G\) を比較し、その差 \(|K - G|\) を誤差の目安として算出するため、計算結果の信頼性を確認できます。
使い方
x を変数とする数式（例：4/(1+x^2) や sin(x)）を入力し、下限 \(a\) と上限 \(b\) を指定して、求積法で用いる分点数 \(n\)（3〜99 の奇数）を選びます。被積分関数が滑らかな場合、分点数を増やすほど精度が高くなります。利用できる記法は + − * / ^、括弧、および sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, sinh, cosh, tanh の各関数と、定数 pi・e です。
計算式
求積法は区間[−1, 1]上で、被積分関数値の重み付き和として定義されます。これを区間[a, b]に拡張するには、次のアフィン変数変換を用います：\(x(t) = \frac{b-a}{2}\cdot t + \frac{a+b}{2}\)、\(dx = \frac{b-a}{2}\cdot dt\)。したがって積分値は、次のように、\(\frac{b-a}{2}\) に、重み \(w_i\) と写像された分点における \(f\) の値との積の総和を掛けたものに等しくなります。
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$ガウス-ルジャンドルの分点はルジャンドル多項式の根であり、本ツールではニュートン法によって求めています。重みは \(w_i = \dfrac{2}{(1 - t_i^2)\cdot P'_m(t_i)^2}\) で与えられます。
計算例
区間[0, pi]における \(f(x) = \sin(x)\) の場合、厳密な積分値は \([-\cos(x)]\) を 0 から \(\pi\) まで評価して、\(-\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2\) となります。本ツールでもおよそ 2 という値が、ごくわずかな誤差推定とともに得られます。同様に、区間[0, 1]における \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) では、\(4\cdot\arctan(1) = \pi\) であることから \(\pi = 3.14159265\) が返されます。
よくある質問
なぜ n は奇数でなければならないのですか？ 埋め込み型のガウス-クロンロッド対は \(m = \frac{n-1}{2}\) 個のガウス分点を再利用するため、合計の分点数は奇数である必要があります。
誤差推定値は何を意味しますか？ 高次の推定値と低次の推定値との絶対差を表します。値が小さいほど計算が収束していることを示します。
特異点がある場合はどうなりますか？ 積分可能な端点特異点があると精度は低下します。有限でない評価値はスキップされ、\(a = b\) の場合は厳密に 0 を返します。
