この計算ツールでできること
本ツールは、関数 \(f(x)\) の有限区間 \([a, b]\) における定積分を、古典的な3つの複合求積法（台形則・中点則・シンプソン則）で近似します。単に1つの値を返すのではなく、分割数を 2, 4, 8, 16, … と倍々に増やしながら（指定した最大値 \(N\) まで）各公式の値を計算し、収束表として表示します。これにより、近似値がどのように安定していくかを目で確かめ、精度をご自身で判断できます。
使い方
被積分関数は、変数 \(x\) を用いた数式として入力してください（例：4/(1+x^2) や sin(x)*exp(-x)）。利用できる演算子は + - * / ^ と括弧で、加えて sin, cos, tan, exp, log／ln, sqrt, abs などの一般的な関数、定数 pi（円周率）と e（自然対数の底）に対応しています。下限 \(a\) と上限 \(b\) を設定し、分割数の最大値 \(N\)（2のべき乗）を選び、表示する桁数を指定します。代表値として表示されるのは \(n = N\) におけるシンプソン則の値です。通常、最も速く収束するためです。
各公式の解説
分割数を \(n\) とすると、刻み幅は \(h = (b - a)/n\)、分点は \(x_i = a + i \cdot h\) となります。台形則は、両端点の値を \(1/2\) の重みで加え、関数値を合計します。中点則は各小区間の中央で関数をサンプリングします。シンプソン則はこれらを 1, 4, 2, 4, …, 4, 1 という重みで組み合わせたもので、3次までの多項式に対して厳密です。誤差のオーダーは、他の2つが \(h^2\) であるのに対しシンプソン則は \(h^4\) となり、より高精度です。
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$
計算例
区間 \([0, 1]\) における \(f(x) = 4/(1+x^2)\) の厳密な積分値は \(\pi = 3.14159265\ldots\) です。\(n = 4\)、\(h = 0.25\) のとき、台形則の近似値は約 \(3.131176\)、中点則は約 \(3.146801\)、シンプソン則は約 \(3.141569\) となり、すでに小数第5位まで正確です。\(n\) を増やすにつれて、3つの値はいずれも \(\pi\) に近づいていきます。
よくある質問
なぜ N は2のべき乗でなければならないのですか？ 分割数を倍にしていくことで、隣り合う行どうしを簡単に比較でき、またシンプソン則に必要な「偶数の分割数」が保証されます。
対応していない関数はありますか？ 収束表は、滑らかな（解析的で）非周期的な被積分関数を前提としています。区間 \([a, b]\) の内部に特異点を持つ関数（例：0 をまたぐ \(1/x\)）は、無限大や無意味な値を返します。
a と b が等しい場合や、a が b より大きい場合はどうなりますか？ \(a = b\) のとき積分値は 0 です。\(a > b\) の場合は、区間 \([b, a]\) の積分に符号を付けた値（負の値）が結果となります。
