이 계산기로 할 수 있는 것
이 도구는 유한 구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 정적분을 세 가지 고전적인 합성 적분 공식으로 근사합니다. 바로 사다리꼴 공식(Trapezoidal Rule), 중점 공식(Midpoint Rule), 심프슨 공식(Simpson's Rule)입니다. 단순히 값 하나만 내놓는 대신, 분할 수를 2, 4, 8, 16, …처럼 2배씩 늘려가며 지정한 최대값 N까지 각 공식을 계산하고, 그 결과를 수렴표로 보여줍니다. 추정값이 점점 안정되는 모습을 직접 눈으로 확인하며 정확도를 가늠할 수 있습니다.
사용 방법
피적분 함수를 변수 x에 대한 수식으로 입력하세요(예: 4/(1+x^2) 또는 sin(x)*exp(-x)). 사용 가능한 연산자는 괄호와 함께 + - * / ^ 이며, sin, cos, tan, exp, log/ln, sqrt, abs 같은 자주 쓰는 함수와 상수 pi, e도 지원합니다. 하한 a와 상한 b를 설정하고, 최대 분할 수 N(2의 거듭제곱)을 고른 뒤, 화면에 표시할 자릿수를 선택하세요. 대표 결과로는 \(n = N\)일 때의 심프슨 추정값이 표시되는데, 보통 가장 빠르게 수렴하기 때문입니다.
공식 자세히 알아보기
구간을 n개로 나누면 간격은 \(h = (b - a)/n\) 이고 분점은 \(x_i = a + i \cdot h\) 입니다. 사다리꼴 공식은 함수값을 더하되 양 끝점에 1/2의 가중치를 둡니다. 중점 공식은 각 소구간의 중심에서 함수값을 샘플링합니다. 심프슨 공식은 두 방식을 1, 4, 2, 4, …, 4, 1의 가중치로 섞으며, 3차 다항식까지 정확하게 적분합니다.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$그 결과 오차가 \(h^4\) 차수로 줄어드는데, 이는 다른 두 공식의 \(h^2\)보다 훨씬 빠릅니다.
계산 예시
구간 [0, 1]에서 \(f(x) = 4/(1+x^2)\)의 정확한 적분값은 \(\pi = 3.14159265\ldots\) 입니다. \(n = 4\), \(h = 0.25\)일 때 사다리꼴 추정값은 약 \(3.131176\), 중점 추정값은 약 \(3.146801\), 심프슨 추정값은 약 \(3.141569\)로, 이미 소수점 다섯 자리까지 정확합니다. n을 늘릴수록 세 값 모두 \(\pi\)에 가까워집니다.
자주 묻는 질문
왜 N이 2의 거듭제곱이어야 하나요? 분할 수를 2배씩 늘리면 표의 인접한 행끼리 비교하기 쉽고, 심프슨 공식에 필요한 짝수 분할도 자동으로 보장됩니다.
적용할 수 없는 함수는 무엇인가요? 수렴표는 피적분 함수가 매끄럽고(해석적) 주기적이지 않다고 가정합니다. 0을 지나는 \(1/x\)처럼 구간 [a, b] 내부에 특이점이 있는 함수는 무한대나 엉뚱한 값을 내놓습니다.
a와 b가 같거나 a가 b보다 크면 어떻게 되나요? \(a = b\)이면 적분값은 0입니다. \(a > b\)이면 결과는 [b, a] 구간 적분값의 부호를 뒤집은(음수) 값이 됩니다.
