계산 입력

결과

Simpson's rule result (n = 64)

3.1415926535892149

정적분 근사값

사다리꼴 공식

3.1415519634856541

중점 공식

3.1416129986418473

심프슨 공식

3.1415926535892149

n	사다리꼴	중점	심프슨
2	3.1000000000000001	3.1623529411764704	3.1333333333333333
4	3.1311764705882354	3.1468005183939427	3.1415686274509804
8	3.1389884944910889	3.1428947295916889	3.1415925024587068
16	3.1409416120413889	3.1419181743085600	3.1415926512248218
32	3.1414298931749749	3.1416740337963374	3.1415926535528360
64	3.1415519634856541	3.1416129986418473	3.1415926535892149

이 계산기로 할 수 있는 것

이 도구는 유한 구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 정적분을 세 가지 고전적인 합성 적분 공식으로 근사합니다. 바로 사다리꼴 공식(Trapezoidal Rule), 중점 공식(Midpoint Rule), 심프슨 공식(Simpson's Rule)입니다. 단순히 값 하나만 내놓는 대신, 분할 수를 2, 4, 8, 16, …처럼 2배씩 늘려가며 지정한 최대값 N까지 각 공식을 계산하고, 그 결과를 수렴표로 보여줍니다. 추정값이 점점 안정되는 모습을 직접 눈으로 확인하며 정확도를 가늠할 수 있습니다.

a와 b 사이의 수직 띠로 근사한 곡선 아래 면적 — 수치 적분은 간단한 띠를 합산하여 a부터 b까지 f(x) 아래 면적을 추정합니다.

사용 방법

피적분 함수를 변수 x에 대한 수식으로 입력하세요(예: 4/(1+x^2) 또는 sin(x)*exp(-x)). 사용 가능한 연산자는 괄호와 함께 + - * / ^ 이며, sin, cos, tan, exp, log/ln, sqrt, abs 같은 자주 쓰는 함수와 상수 pi, e도 지원합니다. 하한 a와 상한 b를 설정하고, 최대 분할 수 N(2의 거듭제곱)을 고른 뒤, 화면에 표시할 자릿수를 선택하세요. 대표 결과로는 $n = N$일 때의 심프슨 추정값이 표시되는데, 보통 가장 빠르게 수렴하기 때문입니다.

공식 자세히 알아보기

구간을 n개로 나누면 간격은 $h = (b - a)/n$ 이고 분점은 $x_i = a + i \cdot h$ 입니다. 사다리꼴 공식은 함수값을 더하되 양 끝점에 1/2의 가중치를 둡니다. 중점 공식은 각 소구간의 중심에서 함수값을 샘플링합니다. 심프슨 공식은 두 방식을 1, 4, 2, 4, …, 4, 1의 가중치로 섞으며, 3차 다항식까지 정확하게 적분합니다.

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$

그 결과 오차가 $h^4$ 차수로 줄어드는데, 이는 다른 두 공식의 $h^2$보다 훨씬 빠릅니다.

곡선 아래 사다리꼴·중점·심프슨 띠 모양을 비교하는 세 개의 패널 — 세 규칙은 각 띠가 곡선을 근사하는 방식이 다릅니다: 직선 현, 중점의 평평한 직사각형, 맞춘 포물선.

계산 예시

구간 [0, 1]에서 $f(x) = 4/(1+x^2)$의 정확한 적분값은 $\pi = 3.14159265\ldots$ 입니다. $n = 4$, $h = 0.25$일 때 사다리꼴 추정값은 약 $3.131176$, 중점 추정값은 약 $3.146801$, 심프슨 추정값은 약 $3.141569$로, 이미 소수점 다섯 자리까지 정확합니다. n을 늘릴수록 세 값 모두 $\pi$에 가까워집니다.

자주 묻는 질문

왜 N이 2의 거듭제곱이어야 하나요? 분할 수를 2배씩 늘리면 표의 인접한 행끼리 비교하기 쉽고, 심프슨 공식에 필요한 짝수 분할도 자동으로 보장됩니다.

적용할 수 없는 함수는 무엇인가요? 수렴표는 피적분 함수가 매끄럽고(해석적) 주기적이지 않다고 가정합니다. 0을 지나는 $1/x$처럼 구간 [a, b] 내부에 특이점이 있는 함수는 무한대나 엉뚱한 값을 내놓습니다.

a와 b가 같거나 a가 b보다 크면 어떻게 되나요? $a = b$이면 적분값은 0입니다. $a > b$이면 결과는 [b, a] 구간 적분값의 부호를 뒤집은(음수) 값이 됩니다.

수치 적분 계산기