심프슨 공식 적분 계산기란?
이 계산기는 복합 심프슨 공식(composite Simpson's rule)을 이용해 구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 정적분을 수치적으로 근사합니다. 특정 국가의 제도가 아니라 순수 수학 도구이므로 어디서든 동일하게 적용됩니다. 계산기는 소구간 개수를 2, 4, 8, 16, … 식으로 두 배씩 늘려가며(설정한 최댓값 N까지) 추정값을 정밀하게 다듬으므로, 결과가 어떻게 수렴해 가는지 직접 확인할 수 있습니다.
사용 방법
x에 관한 함수를 입력하세요(예: 4/(1+x^2) 또는 sin(x)). 그런 다음 하한 a와 상한 b를 지정하고, 소구간 분할 최댓값 N을 선택합니다. 결과에 표시할 유효숫자 자릿수도 정할 수 있습니다. 경계값과 함수 모두 pi, e 같은 상수는 물론 sin, cos, tan, exp, ln, log10, sqrt, abs 등 다양한 함수를 사용할 수 있습니다.
공식 풀이
구간 [a, b]를 짝수 개의 소구간 n으로 나누면 간격은 \(h = (b - a) / n\) 입니다. 노드를 \(x_i = a + i\cdot h\) 로 두면, 심프슨 공식은 양 끝점에 가중치 1, 홀수 번째 내부 노드에 4, 짝수 번째 내부 노드에 2를 곱한 뒤 전체에 \(h/3\)을 곱합니다.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_N) \right]$$이 방법의 오차는 \(O(h^4)\)이며, 3차 이하의 다항식에 대해서는 정확한 값을 줍니다.
계산 예시
f(x) = 4/(1+x^2), a = 0, b = 1, n = 4 인 경우를 살펴봅시다. 이때 \(h = 0.25\) 이고 각 노드 값은 4.000000, 3.764706, 3.200000, 2.560000, 2.000000 입니다. 심프슨 공식을 적용하면
$$S = \frac{0.25}{3}\cdot\left[4 + 4\cdot(3.764706 + 2.560000) + 2\cdot 3.200000 + 2\right] = 3.141569$$가 됩니다. N = 64 로 두면 추정값은 \(\pi \approx 3.14159265358979\) 로 수렴합니다.
자주 묻는 질문
왜 n은 반드시 짝수여야 하나요? 심프슨 공식은 이웃한 두 소구간을 짝지어 세 점을 지나는 포물선을 맞추기 때문에, 소구간 개수가 짝수여야 합니다. 이 계산기에서 사용하는 2의 거듭제곱은 언제나 짝수입니다.
b가 a보다 작으면 어떻게 되나요? 결과는 단순히 [b, a]에서의 적분값에 음수를 취한 값이 됩니다. 공식이 음수 간격(step size)도 올바르게 처리합니다.
특이점(singularity)이 있으면요? 어떤 노드에서 f(x)가 정의되지 않는 경우(0으로 나누기, 0 이하 값의 로그, 음수의 제곱근 등)에는 결과를 신뢰할 수 없습니다. 이때 계산기는 오해를 부르는 숫자를 보여주는 대신 오류를 표시합니다.
