사다리꼴 공식이란?
사다리꼴 공식(trapezoidal rule)은 곡선 아래의 넓이를 근사하는 수치 적분법입니다. 적분 구간을 n개의 동일한 소구간으로 나눈 뒤, 각 구간을 작은 사다리꼴로 보고 그 넓이를 모두 더하는 방식이죠. 이렇게 사다리꼴들의 넓이를 합하면 정적분 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)의 근삿값을 얻을 수 있습니다. 부정적분(원시함수)을 닫힌 형태로 구하기 어렵거나 불가능할 때 특히 유용합니다.
계산기 사용 방법
변수로 x를 사용해 함수를 입력하세요(예: x^2, sin(x), exp(x)). 그런 다음 하한 a, 상한 b, 그리고 소구간 개수 n을 설정하면 됩니다. 일반적으로 n이 클수록 결과가 더 정확해집니다. 계산기는 적분의 근삿값과 함께 간격 \(\Delta x\), 양 끝점에서의 함숫값을 함께 보여 줍니다.
공식 한눈에 보기
합성 사다리꼴 공식은 다음과 같습니다.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\left[ f_0 + 2\left(f_1 + \cdots + f_{n-1}\right) + f_n \right], \quad \text{여기서}\quad \Delta x = \frac{b - a}{n}$$
양 끝점 \(f_0\)와 \(f_n\)은 한 번씩만 더하지만, 내부의 모든 점은 인접한 두 사다리꼴이 공유하므로 두 번씩 더해집니다.
예제로 계산해 보기
n = 10으로 \(\int_{0}^{1} x^2\,dx\)를 근사해 봅시다. 이때 \(\Delta x = 0.1\)입니다. 각 분점에서의 f 값을 합하면 사다리꼴 근삿값은 \(0.335\)가 나오며, 정확한 값 \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)과 비교됩니다. n을 늘리면 오차가 줄어드는데, 이 오차는 대략 \(\Delta x^2\)에 비례합니다.
자주 묻는 질문
왜 정확한 적분값과 조금 차이가 날까요? 사다리꼴 공식은 어디까지나 근삿값입니다. 소구간 개수 n을 늘릴수록 오차가 작아집니다.
어떤 함수를 지원하나요? 다항식과 + - * / ^ 연산자, 그리고 sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs 함수, 상수 pi와 e를 지원합니다.
a와 b의 순서를 바꿔도 되나요? a > b인 경우 결과의 부호만 반대로 바뀌며, 이는 적분의 방향(상·하한 위치)과 일치하는 자연스러운 결과입니다.
