심슨 공식이란?
심슨 공식(Simpson's Rule)은 곡선 아래의 넓이를 근사하는 수치 적분 기법으로, 세 점씩 묶어 그 점들을 지나는 포물선을 맞춰 면적을 계산합니다. 직선 구간만으로 근사하는 사다리꼴 공식과 달리 곡선의 휘어짐(곡률)까지 반영하기 때문에, 매끄러운 함수에서는 훨씬 더 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 이 계산기는 합성 심슨 1/3 공식을 사용해, 한 변수로 이루어진 임의의 함수 \(f(x)\)를 구간 \([a, b]\)에서 적분합니다.
계산기 사용법
변수는 x로 표기해 함수를 입력하세요. 예를 들어 x^2, sin(x), exp(-x)*cos(x) 같은 형태입니다. 사용할 수 있는 연산자는 + − * / ^ 이며, 지원하는 함수는 sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs입니다(각도는 라디안 기준). 이어서 적분 하한 \(a\), 상한 \(b\), 그리고 소구간 개수 \(n\)을 지정합니다. 이 방법은 두 구간씩 묶어 포물선을 만들기 때문에 \(n\)은 반드시 짝수여야 합니다. 홀수를 입력하면 자동으로 가장 가까운 짝수로 올림 처리됩니다.
공식 자세히 보기
구간을 폭이 \(\Delta x = (b - a)/n\)인 \(n\)개의 똑같은 조각으로 나누면 표본점 \(x_0, x_1, \ldots, x_n\)이 생깁니다. 양 끝점 \(f_0\)와 \(f_n\)에는 가중치 1을 부여하고, 홀수 번째 내부 점에는 4, 짝수 번째 내부 점에는 2를 곱합니다. 이렇게 가중합한 값에 \(\Delta x/3\)을 곱하면 적분의 근삿값이 나옵니다.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$
예제로 익히기
\(f(x) = x^2\)를 0부터 2까지 \(n = 4\)로 적분해 보겠습니다. 이때 \(\Delta x = 0.5\)이고, 표본점은 0, 0.5, 1, 1.5, 2이며 각 함숫값은 0, 0.25, 1, 2.25, 4입니다. 홀수 번째 합 \(= 0.25 + 2.25 = 2.5\), 짝수 번째 합 \(= 1\)입니다. 따라서 결과 $$= \frac{0.5}{3}\cdot[0 + 4(2.5) + 2(1) + 4] = \frac{0.5}{3}\cdot 16 = 2.6667$$로, 정확한 값인 \(8/3\)과 일치합니다.
자주 묻는 질문
왜 \(n\)이 짝수여야 하나요? 포물선 하나가 소구간 두 개에 걸쳐 만들어지기 때문에, 전체 소구간 개수는 2로 나누어떨어져야 합니다.
정확도는 어느 정도인가요? 오차는 \(\Delta x\)의 4제곱에 비례해 줄어듭니다. 즉 \(n\)을 두 배로 늘리면 매끄러운 함수에서는 오차가 약 16배 작아집니다. 또한 심슨 공식은 3차 다항식에 대해서는 오차 없이 정확한 값을 줍니다.
각도는 어떻게 처리되나요? 삼각함수는 라디안을 사용하므로, 도(degree) 단위 값이 있다면 먼저 라디안으로 변환해야 합니다.
