¿Qué es la regla de Simpson?
La regla de Simpson es un método de integración numérica que aproxima el área bajo una curva ajustando parábolas a grupos de tres puntos. Resulta mucho más precisa que la regla del trapecio para funciones suaves, ya que recoge la curvatura y no solo tramos rectos. Esta calculadora evalúa cualquier función de una variable \(f(x)\) sobre el intervalo \([a, b]\) empleando la regla compuesta de Simpson 1/3.
Cómo usar esta calculadora
Escribe tu función utilizando x como variable; por ejemplo, x^2, sin(x) o exp(-x)*cos(x). Se admiten los operadores + − * / ^ y las funciones sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt y abs (los ángulos se expresan en radianes). Indica el límite inferior \(a\), el límite superior \(b\) y el número de subintervalos \(n\). Como el método agrupa los intervalos de dos en dos para formar parábolas, n debe ser par; si introduces un valor impar, se redondea automáticamente al inmediato superior.
La fórmula explicada
El intervalo se divide en \(n\) partes iguales de anchura \(\Delta x = (b - a)/n\), lo que genera los puntos de muestreo \(x_0, x_1, \ldots, x_n\). Los extremos \(f_0\) y \(f_n\) se ponderan por 1, los puntos interiores de índice impar por 4 y los de índice par por 2. La suma ponderada se multiplica por \(\Delta x/3\) para estimar la integral.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$
Ejemplo resuelto
Integremos \(f(x) = x^2\) entre 0 y 2 con \(n = 4\). Entonces \(\Delta x = 0{,}5\) y los puntos son 0, 0,5, 1, 1,5, 2 con valores 0, 0,25, 1, 2,25, 4. Suma impar \(= 0{,}25 + 2{,}25 = 2{,}5\); suma par \(= 1\). Resultado:
$$\frac{0{,}5}{3}\cdot\left[0 + 4(2{,}5) + 2(1) + 4\right] = \frac{0{,}5}{3}\cdot 16 = 2{,}6667$$que coincide con el valor exacto de \(8/3\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué n debe ser par? Cada parábola abarca dos subintervalos, así que el número total debe ser divisible entre 2.
¿Qué precisión tiene? El error disminuye con la cuarta potencia de \(\Delta x\), de modo que duplicar \(n\) reduce el error unas 16 veces en funciones suaves. La regla de Simpson es exacta para polinomios de tercer grado.
¿Y los ángulos? Las funciones trigonométricas trabajan en radianes, así que convierte primero los grados si es necesario.
