Что такое формула Симпсона?
Формула Симпсона — это метод численного интегрирования, который приближённо вычисляет площадь под кривой, проводя параболы через группы из трёх точек. Для гладких функций она заметно точнее метода трапеций, потому что учитывает кривизну графика, а не только прямые отрезки. Этот калькулятор вычисляет интеграл любой функции одной переменной \(f(x)\) на отрезке \([a, b]\) по составной формуле Симпсона (правило 1/3).
Как пользоваться калькулятором
Введите функцию, используя x в качестве переменной — например x^2, sin(x) или exp(-x)*cos(x). Поддерживаются операторы + − * / ^ и функции sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt и abs (углы — в радианах). Задайте нижний предел \(a\), верхний предел \(b\) и число отрезков \(n\). Поскольку метод объединяет отрезки попарно в параболы, n должно быть чётным; если вы введёте нечётное значение, оно автоматически округлится в большую сторону.
Разбор формулы
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$
Отрезок делится на n равных частей шириной \(\Delta x = (b - a)/n\), что даёт узловые точки \(x_0, x_1, \ldots, x_n\). Концевые значения \(f_0\) и \(f_n\) берутся с весом 1, внутренние точки с нечётными индексами — с весом 4, а внутренние точки с чётными индексами — с весом 2. Взвешенная сумма умножается на \(\Delta x/3\) — это и есть оценка интеграла.
Разобранный пример
Проинтегрируем \(f(x) = x^2\) от 0 до 2 при \(n = 4\). Тогда \(\Delta x = 0{,}5\), а узлы — 0, 0,5, 1, 1,5, 2 со значениями 0, 0,25, 1, 2,25, 4. Сумма по нечётным индексам \(= 0{,}25 + 2{,}25 = 2{,}5\); сумма по чётным \(= 1\). Результат $$\frac{0{,}5}{3}\cdot\left[0 + 4(2{,}5) + 2(1) + 4\right] = \frac{0{,}5}{3}\cdot 16 = 2{,}6667,$$ что совпадает с точным значением \(8/3\).
Частые вопросы
Почему n должно быть чётным? Каждая парабола охватывает два отрезка, поэтому их общее число должно делиться на 2.
Насколько метод точен? Погрешность убывает пропорционально четвёртой степени \(\Delta x\), поэтому удвоение \(n\) снижает ошибку примерно в 16 раз для гладких функций. Для кубических многочленов формула Симпсона даёт точный результат.
А как быть с углами? Тригонометрические функции работают в радианах, поэтому при необходимости сначала переведите градусы в радианы.
