シンプソン公式とは？
シンプソン公式は、曲線の下の面積を近似するための数値積分の手法です。3点ずつのグループに放物線を当てはめて面積を求めるのが特徴で、直線で近似する台形公式と比べて、なめらかな関数に対してははるかに高い精度が得られます。これは、直線では捉えきれない曲がり具合（曲率）まで反映できるためです。本ツールでは、1変数関数 \(f(x)\) を区間 \([a, b]\) で積分する際に、複合シンプソン公式（1/3則）を用いて計算します。
このツールの使い方
関数は変数として x を用いて入力してください。たとえば x^2、sin(x)、exp(-x)*cos(x) のように記述できます。使用できる演算子は + − * / ^ で、関数は sin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt、abs に対応しています（角度はラジアン単位）。次に、積分の下限 \(a\)、上限 \(b\)、そして分割数 \(n\) を設定します。本手法は2つの区間を1組にして放物線を当てはめるため、\(n\) は必ず偶数でなければなりません。奇数を入力した場合は、自動的に切り上げて偶数に調整されます。
計算式の解説
区間を幅 \(\Delta x = (b - a)/n\) の \(n\) 個の等しい小区間に分割し、標本点 \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) を求めます。両端の点 \(f_0\) と \(f_n\) には重み 1 を、奇数番目の内部の点には重み 4 を、偶数番目の内部の点には重み 2 を掛けます。こうして重み付けした合計に \(\Delta x/3\) を掛けることで、積分の近似値が得られます。
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$
計算例
\(f(x) = x^2\) を 0 から 2 まで、\(n = 4\) で積分してみましょう。このとき \(\Delta x = 0.5\) となり、標本点は 0, 0.5, 1, 1.5, 2、対応する関数値は 0, 0.25, 1, 2.25, 4 です。奇数番目の合計は \(0.25 + 2.25 = 2.5\)、偶数番目の合計は 1 です。結果は
$$\frac{0.5}{3}\cdot\left[0 + 4(2.5) + 2(1) + 4\right] = \frac{0.5}{3}\cdot 16 = 2.6667$$となり、厳密値である \(8/3\) と一致します。
よくある質問
なぜ \(n\) は偶数でなければならないのですか？ 1つの放物線が2つの小区間にまたがるため、分割数は2で割り切れる必要があります。
精度はどのくらいですか？ 誤差は \(\Delta x\) の4乗に比例して小さくなります。そのため、なめらかな関数では \(n\) を2倍にすると誤差はおよそ16分の1に減ります。また、シンプソン公式は3次以下の多項式に対しては誤差なく厳密な値を返します。
角度の扱いはどうなりますか？ 三角関数はラジアン単位で計算されるため、度数で扱いたい場合はあらかじめラジアンに変換してください。
