Qu'est-ce que la méthode de Simpson ?
La méthode de Simpson est une technique d'intégration numérique qui approche l'aire sous une courbe en faisant passer des paraboles par des groupes de trois points. Elle se révèle bien plus précise que la méthode des trapèzes pour les fonctions régulières, car elle tient compte de la courbure et non de simples segments de droite. Ce calculateur évalue n'importe quelle fonction d'une variable \(f(x)\) sur l'intervalle \([a, b]\) en appliquant la méthode de Simpson composite (règle du 1/3).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez votre fonction en utilisant x comme variable — par exemple x^2, sin(x) ou exp(-x)*cos(x). Les opérateurs reconnus sont + − * / ^, ainsi que les fonctions sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt et abs (les angles sont exprimés en radians). Indiquez ensuite la borne inférieure \(a\), la borne supérieure \(b\) et le nombre de sous-intervalles \(n\). Comme la méthode regroupe les intervalles deux par deux pour former des paraboles, n doit être pair ; si vous saisissez une valeur impaire, elle est automatiquement arrondie à l'entier pair supérieur.
La formule expliquée
L'intervalle est découpé en n parts égales de largeur \(\Delta x = (b - a)/n\), ce qui donne les points d'échantillonnage \(x_0, x_1, \dots, x_n\). Les extrémités \(f_0\) et \(f_n\) sont pondérées par 1, les points intérieurs d'indice impair par 4 et ceux d'indice pair par 2. La somme pondérée est ensuite multipliée par \(\Delta x/3\) pour estimer l'intégrale.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$
Exemple détaillé
Intégrons \(f(x) = x^2\) de 0 à 2 avec \(n = 4\). On a alors \(\Delta x = 0{,}5\) et les points sont 0, 0,5, 1, 1,5, 2, avec pour valeurs 0, 0,25, 1, 2,25, 4. Somme des indices impairs \(= 0{,}25 + 2{,}25 = 2{,}5\) ; somme des indices pairs \(= 1\). Résultat $$= \frac{0{,}5}{3}\cdot[0 + 4(2{,}5) + 2(1) + 4] = \frac{0{,}5}{3}\cdot 16 = 2{,}6667,$$ soit exactement la valeur théorique \(8/3\).
Questions fréquentes
Pourquoi n doit-il être pair ? Chaque parabole couvre deux sous-intervalles : leur nombre total doit donc être divisible par 2.
Quelle est sa précision ? L'erreur décroît comme la puissance quatrième de \(\Delta x\) : doubler \(n\) divise donc l'erreur par environ 16 pour les fonctions régulières. La méthode de Simpson est même exacte pour les polynômes de degré 3.
Et les angles ? Les fonctions trigonométriques s'utilisent en radians : pensez à convertir les degrés au préalable si nécessaire.
