Simpson Kuralı Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Fonksiyon f(x) Değişken olarak x kullanın. İşleçler: + - * / ^. Fonksiyonlar: sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs.

Alt sınır (a)

Üst sınır (b)

Alt aralık sayısı (n, çift)

Sonuç

Yaklaşık İntegral (Simpson Kuralı)

2,666667

≈ ∫ f(x) dx

Adım boyu Δx	0,5
f(a) = f₀	0
f(b) = fₙ	4
Tek indisli f değerlerinin toplamı	2,5
Çift indisli f değerlerinin toplamı	1
Alt aralık sayısı (n)	4

Simpson Kuralı Nedir?

Simpson kuralı, bir eğrinin altında kalan alanı, üçer noktalık gruplardan geçen parabollere oturtarak yaklaşık hesaplayan bir sayısal integral tekniğidir. Düzgün (smooth) fonksiyonlarda yamuk kuralından çok daha doğru sonuç verir; çünkü sadece düz çizgi parçalarını değil, eğriliği de dikkate alır. Bu hesaplayıcı, tek değişkenli herhangi bir \(f(x)\) fonksiyonunu \([a, b]\) aralığında bileşik Simpson 1/3 kuralı ile hesaplar.

Simpson kuralı, eğri altındaki alanı yaklaşık hesaplamak için noktalardan paraboller geçirir.

Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?

Fonksiyonunuzu değişken olarak x kullanarak girin — örneğin x^2, sin(x) veya exp(-x)*cos(x). Desteklenen işleçler + − * / ^ ; desteklenen fonksiyonlar ise sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt ve abs şeklindedir (açılar radyan cinsindendir). Alt sınır \(a\), üst sınır \(b\) ve alt aralık sayısı \(n\) değerlerini belirleyin. Yöntem aralıkları ikişerli olarak parabollere eşlediğinden n çift olmalıdır; tek bir değer girerseniz otomatik olarak bir üst çift sayıya yuvarlanır.

Formülün Açıklaması

Aralık, genişliği \(\Delta x = (b - a)/n\) olan \(n\) eşit parçaya bölünür ve \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) örnek noktaları elde edilir. Uç noktalar \(f_0\) ve \(f_n\) 1 katsayısıyla, tek indisli iç noktalar 4 katsayısıyla, çift indisli iç noktalar ise 2 katsayısıyla ağırlıklandırılır. Ağırlıklı toplam, integrali tahmin etmek için \(\Delta x/3\) ile çarpılır.

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$

Reklam

Uç noktaların ağırlığı 1, tek indisli noktaların 4, çift iç noktaların 2'dir.

Çözümlü Örnek

\(f(x) = x^2\) fonksiyonunu \(n = 4\) ile 0'dan 2'ye integre edelim. Bu durumda \(\Delta x = 0{,}5\) olur ve noktalar 0, 0,5, 1, 1,5, 2 ; değerleri ise 0, 0,25, 1, 2,25, 4'tür. Tek indisli toplam \(= 0{,}25 + 2{,}25 = 2{,}5\) ; çift indisli toplam \(= 1\). Sonuç:

$$\left(\frac{0{,}5}{3}\right)\cdot\left[0 + 4(2{,}5) + 2(1) + 4\right] = \left(\frac{0{,}5}{3}\right)\cdot 16 = 2{,}6667$$

olup tam değer olan \(8/3\) ile örtüşür.

Sıkça Sorulan Sorular

n neden çift olmalı? Her parabol iki alt aralığı kapsar, bu nedenle alt aralık sayısının 2'ye tam bölünmesi gerekir.

Ne kadar doğru sonuç verir? Hata, \(\Delta x\)'in dördüncü kuvvetiyle azalır; yani düzgün fonksiyonlarda \(n\)'yi iki katına çıkarmak hatayı yaklaşık 16 kat azaltır. Simpson kuralı, kübik (üçüncü dereceden) polinomlar için kesin sonuç verir.

Açılar için ne yapmalıyım? Trigonometrik fonksiyonlar radyan kullanır; gerekirse önce dereceyi radyana çevirin.