Kosinüs Teoremi Nedir?
Kosinüs teoremi (kosinüs kuralı olarak da bilinir), Pisagor teoremini her türlü üçgene genelleştirir. Üç kenarın uzunluğunu açılardan birinin kosinüsüyle ilişkilendirir; bu sayede üçgenin dik açısı olmasa bile çalışır. Bu hesaplama aracı, teoremi yaygın "KAK" (kenar-açı-kenar) durumunda kullanır: iki kenarı ve aralarındaki açıyı girersiniz, araç da eksik kenarı, diğer iki açıyı, çevreyi ve alanı geri verir.
Nasıl Kullanılır?
a kenarını, b kenarını ve aradaki açı olan C'yi derece cinsinden girin (C, a ile b kenarları arasında kalan açıdır). Ardından hesapla düğmesine basın. Araç önce üçüncü kenar c'yi bulur, sonra düzenlenmiş kosinüs kuralını kullanarak A ve B açılarını hesaplar. Üç açının toplamı her zaman 180° olduğundan, sonucu hızlıca kontrol edebilirsiniz.
Formülün Açıklaması
Bilinen açının karşısındaki kenarı bulmak için: $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos\!\left(C\right)$$ Dikkat ederseniz, \(C = 90°\) olduğunda \(\cos(C) = 0\) olur ve ifade bildiğimiz \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) halini alır. Üç kenarı bilip bir açıyı geriye doğru hesaplamak için ise formülü şöyle düzenleriz: $$C = \cos^{-1}\!\left(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\right)$$ Üçgenin alanı ise \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)\) ile hesaplanır.
Çözümlü Örnek
\(a = 5\), \(b = 7\) ve \(C = 60°\) olsun. Bu durumda $$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot5\cdot7\cos(60°) = 74 - 70\cdot0{,}5 = 39$$ yani \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\) olur. A açısı \(= \cos^{-1}\!\left(\frac{49 + 39 - 25}{2\cdot7\cdot6{,}245}\right) \approx 43{,}9°\) ve B açısı \(\approx 76{,}1°\) çıkar. Üç açının toplamı \(43{,}9 + 76{,}1 + 60 = 180°\) ✓. Alan \(= \tfrac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot\sin(60°) \approx 15{,}16\).
Sıkça Sorulan Sorular
Sadece üç kenarı biliyorsam ne yapmalıyım? İkinci formülü kullanarak kenar uzunluklarından herhangi bir açıyı doğrudan bulabilirsiniz.
Geniş açılı üçgenlerde de çalışır mı? Evet. 90°'den büyük bir açının kosinüsü negatiftir; formül bunu otomatik olarak hesaba katar.
Hangi birimleri kullanır? Kenarlar birimsizdir (tutarlı olduğu sürece istediğiniz birimi kullanabilirsiniz), açılar ise derece cinsinden girilir ve derece cinsinden verilir.
