코사인 법칙이란?
코사인 법칙(제2코사인 법칙)은 피타고라스 정리를 모든 삼각형으로 확장한 공식입니다. 세 변의 길이와 한 각의 코사인 값을 연결해 주기 때문에, 직각이 없는 삼각형에서도 그대로 사용할 수 있습니다. 이 계산기는 가장 흔한 'SAS(두 변과 끼인각)' 경우를 다룹니다. 두 변과 그 사이에 끼인각을 입력하면 나머지 한 변과 다른 두 각, 그리고 둘레와 넓이까지 한 번에 계산해 줍니다.
사용 방법
변 a, 변 b, 그리고 그 사이에 끼인각 C(변 a와 b 사이의 각, 단위는 도)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 먼저 세 번째 변 c를 구하고, 이어서 코사인 법칙을 변형한 식으로 각 A와 각 B를 계산합니다. 세 내각의 합은 항상 180°이므로, 결과가 맞는지 손쉽게 검산할 수 있습니다.
공식 풀이
알고 있는 각의 맞은편 변을 구할 때는 $$c^{2} = \text{a}^{2} + \text{b}^{2} - 2\,\text{a}\,\text{b}\cos\!\left(\text{C}\right)$$를 사용합니다. C = 90°일 때 \(\cos(\text{C}) = 0\)이 되어 식이 익숙한 \(c^{2} = \text{a}^{2} + \text{b}^{2}\)로 단순해진다는 점에 주목하세요. 반대로 세 변을 모두 알고 한 각을 구하려면 $$\text{C} = \cos^{-1}\!\left(\frac{\text{a}^{2} + \text{b}^{2} - c^{2}}{2\,\text{a}\,\text{b}}\right)$$로 변형합니다. 넓이는 \(\tfrac{1}{2}\,\text{a}\,\text{b}\,\sin(\text{C})\)로 계산합니다.
예제 풀이
a = 5, b = 7, C = 60°라고 합시다. 그러면 $$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot\cos(60°) = 74 - 70\cdot 0.5 = 39$$이므로 \(c = \sqrt{39} \approx 6.245\)입니다. 각 \(A = \cos^{-1}\!\left(\frac{49 + 39 - 25}{2\cdot 7\cdot 6.245}\right) \approx 43.9°\), 각 \(B \approx 76.1°\)가 됩니다. 세 각의 합은 \(43.9 + 76.1 + 60 = 180°\) ✓. 넓이 \(= \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) \approx 15.16\)입니다.
자주 묻는 질문
세 변만 알고 있으면 어떻게 하나요? 두 번째 공식을 사용하면 변의 길이만으로 어떤 각이든 바로 구할 수 있습니다.
둔각삼각형에도 쓸 수 있나요? 네. 90°를 넘는 각의 코사인 값은 음수가 되는데, 공식이 이를 자동으로 처리합니다.
단위는 무엇을 쓰나요? 변에는 별도의 단위가 없습니다(일관된 단위라면 무엇이든 사용 가능). 각은 도(°) 단위로 입력하고 결과도 도 단위로 표시됩니다.
