¿Qué es la ley de cosenos?
La ley de cosenos (también conocida como teorema del coseno) extiende el teorema de Pitágoras a cualquier triángulo. Relaciona la longitud de los tres lados con el coseno de uno de los ángulos, de modo que funciona incluso cuando el triángulo no tiene ángulo recto. Esta calculadora la aplica al caso clásico «LAL» (lado-ángulo-lado): introduces dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, y obtienes el lado que falta junto con los otros dos ángulos, el perímetro y el área.
Cómo usarla
Introduce el lado a, el lado b y el ángulo comprendido C en grados (el ángulo situado entre los lados a y b). Pulsa calcular. La herramienta halla primero el tercer lado c y, a continuación, aplica la ley de cosenos despejada para obtener los ángulos A y B. Como los tres ángulos siempre suman 180°, puedes comprobar el resultado de un vistazo.
La fórmula explicada
Para hallar el lado opuesto al ángulo conocido:
$$c^{2} = \text{a}^{2} + \text{b}^{2} - 2\,\text{a}\,\text{b}\cos\!\left(\text{C}\right)$$Fíjate en que cuando \(C = 90°\), \(\cos(C) = 0\) y la expresión se reduce al conocido \(c^{2} = \text{a}^{2} + \text{b}^{2}\). Para hacer el camino inverso y obtener un ángulo a partir de los tres lados, despeja así:
$$C = \cos^{-1}\!\left(\frac{\text{a}^{2} + \text{b}^{2} - c^{2}}{2\,\text{a}\,\text{b}}\right)$$El área del triángulo se calcula con \(\tfrac{1}{2}\,\text{a}\,\text{b}\,\sin\!\left(\text{C}\right)\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(a = 5\), \(b = 7\) y \(C = 60°\). Entonces
$$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot5\cdot7\cos(60°) = 74 - 70\cdot0{,}5 = 39$$de modo que \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\). El ángulo \(A = \cos^{-1}\!\left(\frac{49 + 39 - 25}{2\cdot7\cdot6{,}245}\right) \approx 43{,}9°\) y el ángulo \(B \approx 76{,}1°\). Los tres ángulos suman \(43{,}9 + 76{,}1 + 60 = 180°\) ✓. El área \(= \tfrac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot\sin(60°) \approx 15{,}16\).
Preguntas frecuentes
¿Y si solo conozco los tres lados? Usa la segunda fórmula para hallar cualquier ángulo directamente a partir de las longitudes de los lados.
¿Sirve para triángulos obtusángulos? Sí. El coseno de un ángulo mayor de 90° es negativo, algo que la fórmula tiene en cuenta de forma automática.
¿Qué unidades utiliza? Los lados no tienen unidad (puedes usar cualquier unidad siempre que sea la misma para todos), y los ángulos se introducen y se devuelven en grados.
