ما هو قانون جيب التمام؟
قانون جيب التمام (المعروف أيضًا بقانون التجيب) هو تعميم لنظرية فيثاغورس بحيث يصلح لأي مثلث. فهو يربط بين أطوال الأضلاع الثلاثة وجيب تمام إحدى الزوايا، ولهذا يعمل حتى عندما لا يحتوي المثلث على زاوية قائمة. تعتمد هذه الحاسبة على القانون في الحالة الشائعة المعروفة بـ "ضلع–زاوية–ضلع" (SAS): تُدخِل طولَي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، فتُعيد لك الضلع المفقود مع الزاويتين الأخريين والمحيط والمساحة.
طريقة الاستخدام
أدخِل طول الضلع a وطول الضلع b ثم الزاوية المحصورة C بالدرجات (وهي الزاوية الواقعة بين الضلعين a و b). اضغط على زر الحساب. تبدأ الأداة بإيجاد الضلع الثالث c، ثم تستخدم الصيغة المعدّلة لقانون جيب التمام لحساب الزاويتين A و B. وبما أن مجموع الزوايا الثلاث يساوي دائمًا 180°، يمكنك التحقق بسرعة من صحة النتيجة.
شرح الصيغة
لإيجاد الضلع المقابل للزاوية المعلومة: $$c^{2} = \text{a}^{2} + \text{b}^{2} - 2\,\text{a}\,\text{b}\cos\!\left(\text{C}\right)$$ لاحظ أنه عندما تكون \(C = 90°\) فإن \(\cos(C) = 0\)، فتتحول المعادلة إلى الصيغة المألوفة \(c^{2} = \text{a}^{2} + \text{b}^{2}\). وللعمل بالاتجاه العكسي، أي إيجاد زاوية انطلاقًا من ثلاثة أضلاع معلومة، نعيد ترتيب الصيغة لتصبح $$C = \cos^{-1}\!\left(\frac{\text{a}^{2} + \text{b}^{2} - c^{2}}{2\,\text{a}\,\text{b}}\right)$$ أما مساحة المثلث فتُحسب بالعلاقة \(\tfrac{1}{2}\,\text{a}\,\text{b}\,\sin\!\left(\text{C}\right)\).
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 5\) و \(b = 7\) و \(C = 60°\). عندئذ $$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot5\cdot7\cos(60°) = 74 - 70\cdot0.5 = 39$$ إذن \(c = \sqrt{39} \approx 6.245\). والزاوية \(A = \cos^{-1}\!\left(\frac{49 + 39 - 25}{2\cdot7\cdot6.245}\right) \approx 43.9°\)، والزاوية \(B \approx 76.1°\). ومجموع الزوايا الثلاث \(43.9 + 76.1 + 60 = 180°\) ✓. والمساحة \(= \tfrac{1}{2}\cdot5\cdot7\sin(60°) \approx 15.16\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كنت أعرف الأضلاع الثلاثة فقط؟ استخدم الصيغة الثانية لإيجاد أي زاوية مباشرة انطلاقًا من أطوال الأضلاع.
هل يصلح القانون للمثلثات المنفرجة؟ نعم. فجيب تمام الزاوية التي تتجاوز 90° يكون سالبًا، وتتعامل الصيغة مع ذلك تلقائيًا.
ما الوحدات المستخدمة؟ الأضلاع بلا وحدة محددة (استخدم أي وحدة بشرط أن تكون موحّدة)، أما الزوايا فتُدخَل وتُعرَض بالدرجات.
