余弦定理とは？
余弦定理（コサイン定理）は、ピタゴラスの定理をすべての三角形へと一般化したものです。3辺の長さと、ある1つの角の余弦（コサイン）を結びつける関係式なので、直角のない三角形でもそのまま使えます。この計算ツールでは、最もよく使われる「2辺挟角（SAS）」のパターンを扱います。2つの辺と、その間にはさまれた角を入力するだけで、残りの辺・他の2つの角・周囲の長さ・面積をまとめて求められます。
使い方
辺 a、辺 b、そして挟角 C（辺aと辺bの間にある角）を度数で入力します。挟角Cとは、2辺a・bにはさまれた角のことです。あとは「計算」を押すだけ。ツールはまず第3辺 c を求め、続いて余弦定理を変形した式から角Aと角Bを計算します。三角形の内角の和は必ず180°になるので、出てきた答えがおかしくないかすぐに確かめられます。
公式のしくみ
既知の角の向かいにある辺を求める式は次のとおりです。$$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos(C)$$ここで\(C = 90°\)のとき、\(\cos(C) = 0\)となり、式はおなじみのピタゴラスの定理 \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) に一致します。逆に3辺がわかっていて角を求めたい場合は、式を変形して $$C = \cos^{-1}\!\left(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\right)$$ とします。面積は \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)\) で計算できます。
計算例
\(a = 5\)、\(b = 7\)、\(C = 60°\) としてみましょう。すると $$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cos(60°) = 74 - 70\cdot 0.5 = 39$$ となり、\(c = \sqrt{39} \approx 6.245\) です。角\(A = \cos^{-1}\!\left(\frac{49 + 39 - 25}{2\cdot 7\cdot 6.245}\right) \approx 43.9°\)、角\(B \approx 76.1°\) となります。3つの角の合計は \(43.9 + 76.1 + 60 = 180°\) ✓。面積は \(\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) \approx 15.16\) です。
よくある質問
3辺だけしかわからないときは？ 2つ目の式を使えば、3辺の長さから任意の角を直接求められます。
鈍角三角形でも使えますか？ はい、使えます。90°を超える角の余弦は負の値になりますが、公式が自動的に正しく処理してくれます。
単位は何を使いますか？ 辺の長さには単位がありません（一貫した単位であれば何でもOKです）。角度は度数で入力し、答えも度数で返ってきます。
