Что такое теорема косинусов?
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на любой треугольник, а не только на прямоугольный. Она связывает длины трёх сторон с косинусом одного из углов, поэтому работает даже тогда, когда прямого угла в треугольнике нет. Этот калькулятор применяет её в самом частом случае — «две стороны и угол между ними» (схема SAS): вы задаёте две стороны и заключённый между ними угол, а в ответ получаете недостающую сторону, два оставшихся угла, периметр и площадь.
Как пользоваться калькулятором
Введите сторону a, сторону b и заключённый между ними угол C в градусах (это угол, лежащий между сторонами a и b). Нажмите «Рассчитать». Сначала калькулятор находит третью сторону c, а затем по преобразованной формуле вычисляет углы A и B. Поскольку сумма всех углов треугольника всегда равна 180°, результат легко проверить на глаз.
Разбираем формулу
Чтобы найти сторону, лежащую напротив известного угла, используют формулу:
$$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos\!\left(C\right)$$Обратите внимание: при \(C = 90°\) косинус равен нулю, и выражение превращается в привычное \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) — то есть теорему Пифагора. Если же известны все три стороны, а нужен угол, формулу переписывают так:
$$C = \arccos\!\left(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\right)$$Площадь треугольника вычисляется как \(\tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin\!\left(C\right)\).
Пример с решением
Пусть \(a = 5\), \(b = 7\) и \(C = 60°\). Тогда
$$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot5\cdot7\cos(60°) = 74 - 70\cdot0{,}5 = 39,$$откуда \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\). Угол \(A = \arccos\!\left(\frac{49 + 39 - 25}{2\cdot7\cdot6{,}245}\right) \approx 43{,}9°\), а угол \(B \approx 76{,}1°\). Сумма углов: \(43{,}9 + 76{,}1 + 60 = 180°\) ✓. Площадь \(= \tfrac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot\sin(60°) \approx 15{,}16\).
Частые вопросы
Что делать, если известны только три стороны? Используйте вторую формулу — она позволяет найти любой угол напрямую по длинам сторон.
Подходит ли это для тупоугольных треугольников? Да. Косинус угла больше 90° отрицателен, и формула учитывает это автоматически.
В каких единицах считает калькулятор? Стороны указываются без привязки к единицам (главное — использовать одну и ту же), а углы вводятся и выводятся в градусах.
