Что такое треугольник 30-60-90?
Треугольник 30-60-90 — это особый прямоугольный треугольник, внутренние углы которого равны ровно 30°, 60° и 90°. Поскольку углы фиксированы, три его стороны всегда сохраняют одно и то же соотношение. Если короткий катет (сторона напротив угла 30°) имеет длину x, то длинный катет (напротив 60°) равен \(x\sqrt{3}\), а гипотенуза (напротив 90°) — \(2x\). Благодаря этому соотношению 1 : √3 : 2 можно полностью решить треугольник, зная всего одну сторону.
Как пользоваться калькулятором
Выберите сторону, которая вам уже известна — короткий катет, длинный катет или гипотенузу, — и введите её длину. Сначала калькулятор вычисляет короткий катет \(x\), а затем находит все остальные величины: оставшиеся стороны, площадь и периметр. Он работает с любым положительным числом и в любых единицах (см, м, дюймы, футы) — главное, использовать их единообразно.
Разбор формулы
Все расчёты опираются на короткий катет \(x\). Если известен длинный катет, то \(x = \text{длинный} \div \sqrt{3}\); если известна гипотенуза, то \(x = \text{гипотенуза} \div 2\). Далее:
$$\text{короткий} : \text{длинный} : \text{гипотенуза} = x : x\sqrt{3} : 2x$$длинный катет = \(x\sqrt{3}\), гипотенуза = \(2x\), площадь:
$$A = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2$$а периметр = \(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\).
Пример расчёта
Допустим, короткий катет равен 5. Тогда длинный катет:
$$5 \times \sqrt{3} \approx 8{,}66$$гипотенуза:
$$2 \times 5 = 10$$площадь:
$$\frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21{,}65$$а периметр:
$$5 + 8{,}66 + 10 = 23{,}66$$Частые вопросы
Какая сторона является коротким катетом? Короткий катет всегда лежит напротив наименьшего угла, 30°. Это самая короткая из трёх сторон.
Можно ли ввести гипотенузу? Да. Выберите в меню пункт «Гипотенуза» — калькулятор разделит её на 2, чтобы найти короткий катет, и восстановит весь треугольник.
Длинный катет вдвое больше короткого? Нет — это распространённая ошибка. Вдвое больше короткого катета именно гипотенуза, а длинный катет больше короткого в \(\sqrt{3}\) (≈1,732) раза.
Справочная таблица соотношений сторон треугольника 30-60-90
В каждом прямоугольном треугольнике 30-60-90 три стороны имеют фиксированное соотношение \(1 : \sqrt{3} : 2\). Если короткий катет (противолежащий углу 30°) равен \(a\), то длинный катет (противолежащий 60°) равен \(a\sqrt{3}\), а гипотенуза (противолежащая углу 90°) равна \(2a\). Площадь равна \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\), а периметр равен \(a(3+\sqrt{3})\). В приведённой ниже таблице указаны точные и приближённые значения (используя \(\sqrt{3}\approx1.732\)) для нескольких распространённых длин короткого катета.
| Короткий катет \(a\) | Длинный катет \(a\sqrt{3}\) | Гипотенуза \(2a\) | Площадь \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | Периметр \(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
Каждая строка масштабируется линейно: удвоение короткого катета удваивает каждую сторону и периметр, но увеличивает площадь в четыре раза (поскольку площадь зависит от \(a^{2}\)).
