30-60-90 त्रिभुज क्या होता है?
30-60-90 त्रिभुज एक खास समकोण त्रिभुज है जिसके भीतरी कोण ठीक 30°, 60° और 90° के होते हैं। कोण तय होने की वजह से इसकी तीनों भुजाएँ हमेशा एक ही अनुपात में रहती हैं। मान लीजिए छोटी भुजा (जो 30° कोण के सामने होती है) की लंबाई \(x\) है, तो बड़ी भुजा (60° के सामने) \(x\sqrt{3}\) होगी और कर्ण (90° के सामने) \(2x\) होगा। यही $$\text{short} : \text{long} : \text{hyp} = x : x\sqrt{3} : 2x$$ अनुपात आपको सिर्फ़ एक भुजा पता होने पर पूरा त्रिभुज हल करने देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहले चुनिए कि आपको कौन-सी भुजा पहले से पता है — छोटी भुजा, बड़ी भुजा या कर्ण — और उसकी लंबाई टाइप कर दीजिए। कैलकुलेटर सबसे पहले छोटी भुजा \(x\) निकालता है, फिर बाकी सभी माप तय करता है: शेष भुजाएँ, क्षेत्रफल और परिमाप। यह किसी भी धनात्मक संख्या और किसी भी इकाई (सेमी, मीटर, इंच, फुट) के साथ काम करता है, बशर्ते आप एक ही इकाई बनाए रखें।
सूत्र को आसानी से समझें
हर गणना छोटी भुजा \(x\) पर टिकी है। अगर बड़ी भुजा पता हो, तो \(x = \text{बड़ी भुजा} \div \sqrt{3}\); अगर कर्ण पता हो, तो \(x = \text{कर्ण} \div 2\)। इसके बाद बड़ी भुजा \(= x\sqrt{3}\), कर्ण \(= 2x\), क्षेत्रफल $$A = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2$$ और परिमाप $$x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})$$।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए छोटी भुजा 5 है। तब बड़ी भुजा $$= 5 \times \sqrt{3} \approx 8.66,$$ कर्ण $$= 2 \times 5 = 10,$$ क्षेत्रफल $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21.65,$$ और परिमाप $$\approx 5 + 8.66 + 10 = 23.66$$ होगा।
30-60-90 भुजा अनुपात संदर्भ तालिका
प्रत्येक 30-60-90 समकोण त्रिभुज में तीनों भुजाएँ निश्चित अनुपात \(1 : \sqrt{3} : 2\) रखती हैं। यदि लघु भुजा (30° कोण के विपरीत) \(a\) है, तो दीर्घ भुजा (60° के विपरीत) \(a\sqrt{3}\) है और कर्ण (90° कोण के विपरीत) \(2a\) है। क्षेत्रफल \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) है और परिमाप \(a(3+\sqrt{3})\) है। नीचे दी गई तालिका कई सामान्य लघु-भुजा लंबाई के लिए सटीक और अनुमानित मान (using \(\sqrt{3}\approx1.732\)) सूचीबद्ध करती है।
| लघु भुजा \(a\) | दीर्घ भुजा \(a\sqrt{3}\) | कर्ण \(2a\) | क्षेत्रफल \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | परिमाप \(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
प्रत्येक पंक्ति रैखिक रूप से बढ़ती है: लघु भुजा को दोगुना करने से प्रत्येक भुजा और परिमाप दोगुना हो जाता है, लेकिन क्षेत्रफल चतुर्गुणित हो जाता है (क्योंकि क्षेत्रफल \(a^{2}\) पर निर्भर करता है)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
छोटी भुजा कौन-सी होती है? छोटी भुजा हमेशा सबसे छोटे कोण यानी 30° के सामने वाली भुजा होती है। यह तीनों भुजाओं में सबसे छोटी होती है।
क्या मैं कर्ण भी डाल सकता हूँ? हाँ। मेनू में से "कर्ण" चुनिए; कैलकुलेटर उसे 2 से भाग देकर छोटी भुजा निकालता है और पूरा त्रिभुज दोबारा बना देता है।
क्या बड़ी भुजा, छोटी भुजा की दोगुनी होती है? नहीं — यह एक आम गलतफ़हमी है। कर्ण छोटी भुजा का दोगुना होता है; बड़ी भुजा छोटी भुजा की \(\sqrt{3}\) (≈1.732) गुना होती है।
