त्रिभुज की माध्यिका क्या होती है?
त्रिभुज की माध्यिका वह रेखाखंड है जो किसी शीर्ष को उसकी सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ता है। हर त्रिभुज में ठीक तीन माध्यिकाएँ होती हैं, और ये सभी एक ही बिंदु पर मिलती हैं जिसे केंद्रक (centroid) कहा जाता है। यह बिंदु प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में बाँटता है। यह कैलकुलेटर तीनों भुजाओं a, b और c की लंबाई से सीधे तीनों माध्यिकाओं की लंबाई निकाल देता है।
कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
अपने त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई को Side a, Side b और Side c वाले बॉक्स में भरें। कोई भी एक समान इकाई इस्तेमाल करें (सेमी, मीटर, इंच — परिणाम भी उसी इकाई में मिलेगा)। Calculate पर क्लिक करते ही हर भुजा की माध्यिका मिल जाएगी। माध्यिका \(m_a\) वह है जो भुजा a पर खींची जाती है, \(m_b\) भुजा b पर और \(m_c\) भुजा c पर।
सूत्र की पूरी समझ
भुजा a पर खींची गई माध्यिका की लंबाई अपोलोनियस के प्रमेय से मिलती है:
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\,\text{Side b}^{2} + 2\,\text{Side c}^{2} - \text{Side a}^{2}}$$समरूपता के कारण बाकी दोनों माध्यिकाओं में भुजाओं की भूमिकाएँ आपस में बदल जाती हैं:
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2\,\text{Side a}^{2} + 2\,\text{Side c}^{2} - \text{Side b}^{2}} \quad \text{और} \quad m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2\,\text{Side a}^{2} + 2\,\text{Side b}^{2} - \text{Side c}^{2}}$$ध्यान दें कि भुजा c की माध्यिका में भुजाओं a और b के वर्ग इस्तेमाल होते हैं, c का नहीं — जिस भुजा पर माध्यिका खींची जाती है, उसी को घटाया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
एक समकोण त्रिभुज लें जिसकी भुजाएँ a = 6, b = 8, c = 10 हैं:
$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^{2} + 2\cdot 8^{2} - 10^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5।$$$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 64 + 2\cdot 100 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{292} \approx 8.544।$$$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 36 + 2\cdot 100 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{208} \approx 7.211।$$अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या तीनों माध्यिकाएँ हमेशा एक ही बिंदु पर मिलती हैं? हाँ — ये हमेशा केंद्रक पर मिलती हैं, जो त्रिभुज का द्रव्यमान केंद्र (center of mass) होता है।
अगर मेरी दी गई लंबाइयाँ वैध त्रिभुज न बनाएँ तो? वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना ज़रूरी है। असंभव भुजा संयोजनों के लिए कैलकुलेटर 0 लौटाता है।
क्या माध्यिका, शीर्षलंब (altitude) या कोण समद्विभाजक (angle bisector) के बराबर होती है? नहीं। माध्यिका सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु तक जाती है, जबकि शीर्षलंब उस पर लंबवत होता है और कोण समद्विभाजक कोण को बाँटता है। ये केवल विशेष स्थितियों में, जैसे समबाहु त्रिभुज में, एक-दूसरे से मेल खाते हैं।
