삼각형의 중선이란?
삼각형의 중선이란 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 잇는 선분을 말합니다. 모든 삼각형에는 정확히 세 개의 중선이 있으며, 이 세 중선은 한 점에서 만나는데 이 점을 무게중심이라고 합니다. 무게중심은 각 중선을 2:1의 비율로 나눕니다. 이 계산기는 세 변의 길이 a, b, c만 입력하면 세 중선의 길이를 곧바로 계산해 줍니다.
계산기 사용 방법
삼각형의 세 변 길이를 변 a, 변 b, 변 c 칸에 각각 입력하세요. 단위는 cm, m, 인치 등 어떤 것이든 상관없지만 세 변에 동일한 단위를 사용해야 하며, 결과도 같은 단위로 나옵니다. 계산 버튼을 누르면 각 변에 대한 중선 길이가 표시됩니다. \(m_a\)는 변 a로 그은 중선, \(m_b\)는 변 b로 그은 중선, \(m_c\)는 변 c로 그은 중선의 길이입니다.
공식 풀이
변 a에 대한 중선의 길이는 아폴로니우스 정리로 구할 수 있습니다.
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}$$대칭성에 따라 나머지 두 중선은 변의 역할만 서로 바꾸면 됩니다.
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2} + 2c^{2} - b^{2}} \quad \text{그리고} \quad m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}$$여기서 주목할 점은, 변 c에 대한 중선은 c가 아니라 변 a와 b의 제곱을 사용한다는 것입니다. 즉, 중선을 그은 대상 변의 제곱이 빼지는 항이 됩니다.
예제 풀이
세 변이 a = 6, b = 8, c = 10인 직각삼각형을 예로 들어 보겠습니다.
$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^{2} + 2\cdot 8^{2} - 10^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5$$$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 64 + 2\cdot 100 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{292} \approx 8.544$$$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 36 + 2\cdot 100 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{208} \approx 7.211$$자주 묻는 질문
세 중선은 항상 한 점에서 만나나요? 네, 항상 무게중심이라는 한 점에서 만납니다. 무게중심은 삼각형의 질량 중심이기도 합니다.
입력한 값이 삼각형을 이루지 못하면 어떻게 되나요? 제곱근 안의 값이 양수여야 합니다. 삼각형을 이룰 수 없는 변의 조합을 입력하면 계산기는 0을 반환합니다.
중선이 높이나 각의 이등분선과 같은 건가요? 아닙니다. 중선은 대변의 중점으로 향하는 선분이고, 높이는 대변에 수직으로 내린 선분이며, 각의 이등분선은 각을 둘로 나눕니다. 이 셋은 정삼각형과 같은 특수한 경우에만 일치합니다.
