삼각형의 높이란?
삼각형의 높이(수선)는 한 꼭짓점에서 마주 보는 변(또는 그 변을 포함하는 직선)에 수직으로 내린 선분을 말합니다. 모든 삼각형에는 각 변에 대응하는 세 개의 높이가 있습니다. 이 계산기는 세 변의 길이만 입력하면 세 높이(\(h_a\), \(h_b\), \(h_c\))와 삼각형의 넓이를 한꺼번에 계산해 줍니다.
사용 방법
세 변 a, b, c의 길이를 같은 단위로 입력하세요. 계산기는 먼저 헤론의 공식으로 넓이를 구한 뒤, 넓이의 2배를 각 변으로 나누어 그 변에 내린 높이를 계산합니다. 입력한 세 변이 실제로 삼각형을 이루는지 확인하세요(각 변의 길이는 나머지 두 변의 합보다 짧아야 합니다).
공식 풀이
삼각형의 넓이는 '밑변 × 높이 ÷ 2'이므로 넓이 = \(\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\) 입니다. 이를 높이에 대해 풀면 \(h_a = \frac{2\cdot \text{넓이}}{a}\) 가 됩니다. 같은 넓이가 모든 변에 적용되므로 \(h_b = \frac{2\cdot \text{넓이}}{b}\), \(h_c = \frac{2\cdot \text{넓이}}{c}\) 입니다. 넓이 자체는 헤론의 공식으로 구하며, 넓이 = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) 입니다. 여기서 \(s = \frac{a+b+c}{2}\) 는 반둘레입니다.
$$\begin{gathered} h_a = \frac{2\,A}{\text{Side a}}, \quad h_b = \frac{2\,A}{\text{Side b}}, \quad h_c = \frac{2\,A}{\text{Side c}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \sqrt{s(s-\text{a})(s-\text{b})(s-\text{c})} \\ s &= \frac{\text{a} + \text{b} + \text{c}}{2} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
계산 예시
3-4-5 직각삼각형을 예로 들어 보겠습니다. \(s = \frac{3+4+5}{2} = 6\), 넓이 = \(\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt{36} = 6\) 입니다. 그러면 \(h_a = \frac{2\cdot 6}{3} = 4\), \(h_b = \frac{2\cdot 6}{4} = 3\), \(h_c = \frac{2\cdot 6}{5} = 2.4\) 가 됩니다. 직각삼각형에서는 두 직각변에 대한 높이가 각각 나머지 직각변과 같다는 사실을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
변이 길수록 높이는 짧아지나요? 그렇습니다. 넓이는 일정하므로 높이는 해당 변의 길이에 반비례합니다. 따라서 가장 긴 변에 대응하는 높이가 가장 짧습니다.
입력한 변이 삼각형을 이루지 못하면 어떻게 되나요? 제곱근 안의 값이 0이거나 음수이면 넓이가 0으로 표시되며, 이는 변형되었거나 존재할 수 없는 삼각형임을 뜻합니다.
어떤 단위를 사용하나요? 원하는 단위 무엇이든 사용할 수 있습니다. 높이는 변과 같은 길이 단위로, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
