30-60-90 삼각형이란?
30-60-90 삼각형은 세 내각이 정확히 30°, 60°, 90°인 특수 직각삼각형입니다. 각이 고정되어 있기 때문에 세 변의 길이는 항상 일정한 비율을 유지합니다. 30° 각과 마주 보는 짧은 변(짧은 변)의 길이를 \(x\)라고 하면, 60°와 마주 보는 긴 변은 \(x\sqrt{3}\), 90°와 마주 보는 빗변은 \(2x\)가 됩니다. 이 1 : √3 : 2 비율 덕분에 한 변만 알면 삼각형 전체를 풀 수 있습니다.
계산기 사용 방법
이미 알고 있는 변이 무엇인지 — 짧은 변, 긴 변, 빗변 중에서 — 고른 다음 그 길이를 입력하세요. 계산기는 먼저 짧은 변 \(x\)를 구한 뒤, 나머지 변과 넓이, 둘레까지 모든 값을 계산합니다. 양수라면 어떤 값이든 사용할 수 있고, 단위(cm, m, 인치, 피트)도 자유롭게 쓸 수 있습니다. 단, 단위는 처음부터 끝까지 통일해서 사용하세요.
공식 자세히 보기
모든 계산은 짧은 변 \(x\)를 기준으로 합니다. 긴 변을 알고 있다면 \(x = \text{긴 변} \div \sqrt{3}\), 빗변을 알고 있다면 \(x = \text{빗변} \div 2\)로 구합니다. 그러면 다음과 같이 됩니다.
$$\text{긴 변} = x\sqrt{3}, \quad \text{빗변} = 2x, \quad A = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2, \quad \text{둘레} = x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})$$
예제로 보는 계산
짧은 변이 5라고 해 봅시다. 그러면 다음과 같이 됩니다.
$$\text{긴 변} = 5 \times \sqrt{3} \approx 8.66, \quad \text{빗변} = 2 \times 5 = 10$$$$A = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21.65, \quad \text{둘레} \approx 5 + 8.66 + 10 = 23.66$$30-60-90 변의 비율 참조 표
모든 30-60-90 직각삼각형에서 세 변은 고정된 비율 \(1 : \sqrt{3} : 2\)을(를) 유지합니다. 짧은 다리(30° 각도의 대변)가 \(a\)이면 긴 다리(60°의 대변)는 \(a\sqrt{3}\)이고 빗변(90° 각도의 대변)은 \(2a\)입니다. 넓이는 \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\)이고 둘레는 \(a(3+\sqrt{3})\)입니다. 아래 표는 여러 일반적인 짧은 다리 길이에 대한 정확한 값과 근사값(\(\sqrt{3}\approx1.732\) 사용)을 나열합니다.
| 짧은 다리 \(a\) | 긴 다리 \(a\sqrt{3}\) | 빗변 \(2a\) | 넓이 \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | 둘레 \(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
각 행은 선형적으로 확대됩니다: 짧은 다리를 두 배로 늘리면 모든 변과 둘레가 두 배가 되지만 넓이는 4배가 됩니다(넓이가 \(a^{2}\)에 의존하기 때문).
자주 묻는 질문
짧은 변은 어느 변인가요? 짧은 변은 항상 가장 작은 각인 30°와 마주 보는 변입니다. 세 변 중에서 가장 짧습니다.
빗변을 입력해도 되나요? 네. 메뉴에서 "빗변"을 선택하면 계산기가 그 값을 2로 나누어 짧은 변을 구한 뒤 삼각형 전체를 다시 계산합니다.
긴 변은 짧은 변의 2배인가요? 아닙니다. 흔히 하는 착각입니다. 짧은 변의 2배는 빗변이고, 긴 변은 짧은 변의 \(\sqrt{3}\)배(약 1.732배)입니다.
