파스칼의 삼각형이란?
파스칼의 삼각형은 각 숫자가 바로 위에 있는 두 숫자의 합으로 이루어지는 삼각형 모양의 수 배열입니다. 양쪽 가장자리는 모두 1이고, 그 안쪽 숫자들이 거기서부터 만들어집니다. 모든 항은 이항계수와 같으며, \(C(n, k)\) 또는 "n개에서 k개를 고르는 경우의 수"로 표기합니다. 이는 \(n\)개의 집합에서 \(k\)개를 선택하는 방법의 수를 뜻합니다. 삼각형은 0부터 셉니다(0-인덱스). 맨 꼭대기는 0행 = {1}, 1행 = {1, 1}, 2행 = {1, 2, 1} 식으로 이어집니다.
계산기 사용법
표시에서 모드를 고르세요. 한 개의 수를 선택하면 특정 항 하나를 계산합니다. 행 번호 n과 열 번호 k를 입력하면 됩니다(둘 다 0부터 시작하며, \(k\)는 0과 \(n\) 사이의 값). 행 출력을 선택하면 삼각형 전체를 만들 수 있는데, 이때 행의 개수를 입력합니다. 그러면 0행부터 입력한 값까지 모든 행이 각 행의 합과 함께 출력됩니다.
공식 풀이
닫힌 형태의 공식은 다음과 같습니다.
$$C(n,k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$거대한 팩토리얼을 다루지 않기 위해, 이 계산기는 곱셈 형태인 \(C(n,k) = \prod_{i=1}^{k} \dfrac{n-k+i}{i}\)를 사용합니다. 또한 대칭성 \(C(n,k) = C(n,n-k)\) 덕분에 \(k\)와 \(n-k\) 중 더 작은 값까지만 반복합니다. 삼각형 자체는 점화식 \(a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k)\)로 만들어지며, 덧셈만으로 충분합니다.
풀이 예시
n = 4, k = 2인 경우:
$$C(4,2) = \frac{4!}{2!\,\cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$$이는 삼각형 4행 {1, 4, 6, 4, 1}의 세 번째 숫자와 일치합니다. 4행의 합은 \(2^4 = 16\) 입니다.
활용 분야
이항 전개: \((x + y)^n\)을 전개했을 때의 계수가 바로 \(n\)행의 숫자들입니다. 예를 들어 $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.$$ 조합: \(C(n,k)\)는 \(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 경우의 수입니다. 확률: 두 가지 결과가 똑같이 나올 확률일 때, \(n\)행의 합은 전체 경우의 수인 \(2^n\)이 되고, \(C(n,k)/2^n\)은 정확히 \(k\)번 성공할 확률이 됩니다. 예를 들어 동전을 3번 던져 앞면이 정확히 1번 나올 확률은 \(C(3,1)/2^3 = 3/8 = 37.5\%\) 입니다.
자주 묻는 질문
삼각형은 0부터 시작하나요? 네. 행 \(n\)과 열 \(k\) 모두 0부터 시작하므로, 맨 위의 1 하나는 0행, 0열에 해당합니다.
k가 n보다 크면 어떻게 되나요? 그 위치는 삼각형 바깥에 있으므로 값은 0이 되고, 계산기가 안내 문구를 표시합니다.
각 행의 합이 왜 2의 거듭제곱이 되나요? \(k = 0\)부터 \(n\)까지 모든 \(C(n,k)\)의 합이 \(2^n\)이기 때문입니다. 이는 \(n\)개 원소 집합의 부분집합 전체 개수이기도 합니다.
