ما هو مثلث باسكال؟
مثلث باسكال هو ترتيب مثلثي من الأعداد، حيث يساوي كل عدد فيه مجموع العددين الواقعين مباشرةً فوقه. أطراف المثلث كلها تساوي 1، ومنها تنمو الأعداد الداخلية. تمثّل كل قيمة في المثلث معاملًا ثنائيًا يُكتب على صورة \(C(n, k)\) ويُقرأ "n اختيار k"، وهو يعدّ عدد طرق اختيار \(k\) عنصرًا من مجموعة تحوي \(n\) عنصرًا. ويبدأ ترقيم المثلث من الصفر: القمة هي الصف 0 = {1}، ثم الصف 1 = {1، 1}، فالصف 2 = {1، 2، 1}، وهكذا.
طريقة استخدام الحاسبة
اختر الوضع المناسب من قائمة العرض. حدّد قيمة واحدة لحساب قيمة مفردة: أدخل رقم الصف n ورقم العمود k (يبدأ كلاهما من 0، مع وقوع \(k\) بين 0 و \(n\)). أو حدّد صف/صفوف لإنشاء المثلث كاملًا، ثم أدخل عدد الصفوف — وعندها تعرض الأداة جميع الصفوف من الصف 0 حتى القيمة المطلوبة، مع مجموع كل صف.
شرح الصيغة
الصيغة المغلقة هي $$C(n,k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ ولتفادي الأعداد العاملية الضخمة، تعتمد الحاسبة على الصيغة الضربية \(C(n,k) = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-k+i}{i}\) من أجل \(i = 1..k\)، مع المرور على الأصغر بين \(k\) و \(n-k\) استفادةً من خاصية التماثل \(C(n,k) = C(n,n-k)\). أما المثلث نفسه فيُبنى عبر العلاقة التكرارية $$a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k)$$ التي لا تحتاج سوى عمليات الجمع.
مثال محلول
لِنأخذ \(n = 4\) و \(k = 2\): $$C(4,2) = \frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$$ وهذا يطابق العدد الثالث في الصف 4 من المثلث {1، 4، 6، 4، 1}. ومجموع الصف 4 يساوي \(2^4 = 16\).
التطبيقات
المفكوك الثنائي: معاملات \((x + y)^n\) هي تمامًا أعداد الصف \(n\). فمثلًا، $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.$$ التوافيق: القيمة \(C(n,k)\) تمثّل عدد طرق اختيار \(k\) عنصرًا من \(n\). الاحتمالات: عندما تكون النتائج الثنائية متساوية الاحتمال، يساوي مجموع الصف \(n\) قيمة \(2^n\) من إجمالي النتائج، وتمثّل \(C(n,k)/2^n\) احتمال الحصول على \(k\) نجاحًا بالضبط — فمثلًا، احتمال ظهور صورة واحدة بالضبط في 3 رميات = \(C(3,1)/2^3 = 3/8 = 37.5\%\).
الأسئلة الشائعة
هل يبدأ ترقيم المثلث من الصفر؟ نعم. يبدأ كل من رقم الصف \(n\) ورقم العمود \(k\) من 0، لذا فإن العدد 1 في القمة هو الصف 0، العمود 0.
ماذا لو كانت k أكبر من n؟ تقع هذه النقطة خارج المثلث، لذا تكون القيمة 0 وتنبّه الحاسبة إلى ذلك.
لماذا يساوي مجموع كل صف قوة من قوى العدد 2؟ لأن مجموع جميع قيم \(C(n,k)\) من أجل \(k = 0..n\) يساوي \(2^n\)، وهو أيضًا العدد الكلي للمجموعات الجزئية لمجموعة تحوي \(n\) عنصرًا.
