什么是帕斯卡三角形？
帕斯卡三角形（在中文里通常称为"杨辉三角"）是一种三角形的数字排列：其中每个数都等于它正上方相邻两个数之和。三角形的两条斜边全部是 1，内部的数字则由此逐层生长出来。每个数都对应一个二项式系数，记作 \(C(n, k)\)，读作"n 选 k"，表示从 \(n\) 个元素中选取 \(k\) 个的方法总数。该三角形从 0 开始编号：最顶端是第 0 行 = \(\{1\}\)，第 1 行 = \(\{1, 1\}\)，第 2 行 = \(\{1, 2, 1\}\)，以此类推。
如何使用本计算器
先在 显示 中选择模式。选择 单个数值 可计算某一个数：输入行号 n 和列号 k（两者都从 0 开始，且 \(k\) 介于 0 到 \(n\) 之间）。选择 整行 则会生成完整的三角形，此时输入 行数 — 计算器会打印出从第 0 行到该数值的每一行，并给出每行的和。
公式详解
其闭式公式为 $$C(n,k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$ 为了避免出现巨大的阶乘，计算器采用了连乘形式：$$C(n,k) = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-k+i}{i};$$ 并利用对称性 \(C(n,k) = C(n,n-k)\)，在 \(k\) 与 \(n-k\) 中取较小者进行循环。三角形本身则通过递推关系 $$a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k)$$ 来构建，整个过程只需做加法。
例题演示
当 \(n = 4\)、\(k = 2\) 时：$$C(4,2) = \frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6.$$ 这恰好对应三角形第 4 行 \(\{1, 4, 6, 4, 1\}\) 中的第三个数。第 4 行所有数之和为 \(2^4 = 16\)。
应用场景
二项式展开：\((x + y)^n\) 的各项系数正好就是第 \(n\) 行。例如 $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.$$ 组合数：\(C(n,k)\) 表示从 \(n\) 个对象中选取 \(k\) 个的方法数。概率：当每种二元结果等可能时，第 \(n\) 行之和为 \(2^n\)，即结果总数，而 \(C(n,k)/2^n\) 就是恰好 \(k\) 次成功的概率 — 例如抛 3 次硬币恰好出现 1 次正面的概率 \(P = C(3,1)/2^3 = 3/8 = 37.5\%\)。
常见问题
三角形是从 0 开始编号的吗？是的。行号 \(n\) 与列号 \(k\) 都从 0 开始，所以最顶端那个 1 位于第 0 行、第 0 列。
如果 k 大于 n 会怎样？这个位置落在三角形之外，因此其值为 0，计算器会给出相应提示。
为什么每一行的和都是 2 的幂？因为对 \(k = 0..n\) 求 \(C(n,k)\) 之和恰好等于 \(2^n\)，这同时也是一个含 \(n\) 个元素的集合所拥有的子集总数。
