¿Qué es el Triángulo de Pascal?
El Triángulo de Pascal es una disposición triangular de números en la que cada valor es la suma de los dos números situados justo encima de él. Los bordes son siempre 1 y, a partir de ahí, los números interiores van creciendo. Cada valor coincide con un coeficiente binomial, que se escribe \(C(n, k)\) o «n sobre k» y que indica de cuántas formas se pueden elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\). El triángulo empieza a contar desde 0: la cima es la fila 0 = {1}, la fila 1 = {1, 1}, la fila 2 = {1, 2, 1}, y así sucesivamente.
Cómo usar esta calculadora
Elige un modo en Mostrar. Selecciona Un solo número para calcular un valor concreto: introduce el índice de fila n y el índice de columna k (ambos empiezan en 0, y \(k\) debe estar entre 0 y \(n\)). Selecciona Fila(s) para generar el triángulo completo e indica el Número de filas: la herramienta mostrará todas las filas, desde la 0 hasta ese valor, junto con la suma de cada una.
La fórmula explicada
La forma cerrada es $$C(n,k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$ Para evitar factoriales enormes, la calculadora emplea la forma multiplicativa \(C(n,k) = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-k+i}{i}\) para \(i = 1..k\), recorriendo el menor entre \(k\) y \(n-k\) gracias a la simetría \(C(n,k) = C(n,n-k)\). El propio triángulo se construye con la recurrencia $$a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k),$$ que solo necesita sumas.
Ejemplo resuelto
Para \(n = 4\), \(k = 2\): $$C(4,2) = \frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6.$$ Coincide con el tercer número de la fila 4 del triángulo {1, 4, 6, 4, 1}. La suma de la fila 4 es \(2^4 = 16\).
Aplicaciones
Desarrollo del binomio: los coeficientes de \((x + y)^n\) son exactamente la fila \(n\). Por ejemplo, $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.$$ Combinaciones: \(C(n,k)\) es el número de maneras de elegir \(k\) objetos entre \(n\). Probabilidad: con resultados binarios igualmente probables, la fila \(n\) suma \(2^n\) resultados totales, y \(C(n,k)/2^n\) es la probabilidad de obtener exactamente \(k\) aciertos; por ejemplo, \(P(\text{exactamente 1 cara en 3 lanzamientos}) = C(3,1)/2^3 = 3/8 = 37{,}5\,\%\).
Preguntas frecuentes
¿El triángulo empieza a contar desde 0? Sí. Tanto la fila \(n\) como la columna \(k\) empiezan en 0, así que el único 1 de la cima es la fila 0, columna 0.
¿Qué pasa si k es mayor que n? Ese punto queda fuera del triángulo, por lo que el valor es 0 y la calculadora muestra un aviso.
¿Por qué cada fila suma una potencia de 2? Porque la suma de todos los \(C(n,k)\) para \(k = 0..n\) es igual a \(2^n\), que también es el número total de subconjuntos de un conjunto de \(n\) elementos.
