什麼是巴斯卡三角形？
巴斯卡三角形（Pascal's Triangle）是一個由數字排成的三角形陣列，其中每一個數字都等於它正上方兩個數字的總和。三角形的兩側邊緣全部是 1，內部的數字則由此逐漸累加長出來。每一個項都對應一個二項式係數，寫成 \(C(n, k)\)，也就是「從 n 個中選 k 個」，用來計算從 n 個元素中取出 k 個的組合方式總數。這個三角形採用從 0 開始的索引：最頂端是第 0 列 = {1}，第 1 列 = {1, 1}，第 2 列 = {1, 2, 1}，依此類推。
如何使用這個計算器
請先在 顯示模式 中選擇模式。選 單一數值 可計算單一項：輸入列索引 n 與行索引 k（兩者皆從 0 開始，且 k 介於 0 與 n 之間）。選 整列展開 則會產生完整的三角形，並請輸入 列數——工具會印出從第 0 列一直到該數值的每一列，並一併顯示每一列的總和。
公式詳解
封閉式公式為 $$C(n,k) = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ 為了避免階乘數值過於龐大，本計算器改用乘法形式 \(C(n,k) = \prod_{i=1}^{k} \dfrac{n-k+i}{i}\)，並利用對稱性 \(C(n,k) = C(n,n-k)\)，在 k 與 n-k 之間取較小者來迴圈運算。至於三角形本身，則是透過遞迴式 $$a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k),\quad a(n,0)=a(n,n)=1$$ 建構而成，整個過程只需要加法。
範例演算
以 n = 4、k = 2 為例：$$C(4,2) = \dfrac{4!}{2!\cdot 2!} = \dfrac{24}{4} = 6$$ 這正好對應到三角形第 4 列 {1, 4, 6, 4, 1} 中的第三個數字。而第 4 列的總和為 \(2^4 = 16\)。
應用場景
二項式展開：\((x + y)^n\) 的各項係數，恰好就是第 n 列。例如 $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$$ 組合計算：\(C(n,k)\) 代表從 n 個物件中選出 k 個的方法總數。機率：在每種結果機率均等的二元情境下，第 n 列的總和為 \(2^n\) 種可能結果，而 \(C(n,k)/2^n\) 就是恰好出現 k 次成功的機率——例如「擲 3 次硬幣恰好出現 1 次正面」的機率為 $$P = \dfrac{C(3,1)}{2^3} = \dfrac{3}{8} = 37.5\%$$
常見問題
三角形是從 0 開始索引的嗎？是的。列 n 與行 k 都從 0 起算，所以最頂端那個單獨的 1 就是第 0 列、第 0 行。
如果 k 大於 n 會怎樣？該點落在三角形範圍之外，因此數值為 0，計算器也會標示一段提示說明。
為什麼每一列的總和都是 2 的次方？因為將所有 \(C(n,k)\)（k = 0..n）相加，結果等於 \(2^n\)，這同時也是一個含 n 個元素的集合所擁有的子集合總數。
